单调性与最大（小）值（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptx

第三章 函数的概念与性质,3.2.2,单调性与最大（小）值（第,1,课时）,数学,一、学习目标,二、课堂探究,三、课堂练习,四、课堂小结,五、课后作业,学习,目标,能够借助函数图象，理解函数单调性的定义，并掌握其符号表示,会用定义证明、判断函数的单调性,会求函数的单调区间,我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.那么我们可以研究函数的哪些性质呢？从本节课开始我们就研究一下函数的常见性质.,【,问题探究,1】,在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，我们将这一性质称为函数的单调性，那么同学们能否以二次函数,为例，观察其图象特征，并借助于符号语言来描述一下函数的这种性质？,结论,当,x,0,时,y,随,x,的增大而减小,.,用符号语言描述,就是任意,取,x,1,x,2,得到,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,),=,那么当,x,1,f,(,x,2,),.,这时我们就说函数,f,(,x,),=x,2,在区间,上是单调递减的,.,当,x,0,时,y,随,x,的增大而增大,.,用符号语言表达,就是任意取,x,1,x,2,得到,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,),=,那么当,x,1,x,2,时,有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),.,这时我们就说函数,f,(,x,),=x,2,在区间,上是单调递增的,.,思考,函数,f,(,x,),=|x|,f,(,x,),=-x,2,各有怎样的单调性,?,借助于上面三个函数的单调性的刻画方法,请同学们归纳出任意函数单调性的符号表述,.,一般地,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,区间,I,D,:,如果,x,1,x,2,I,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就称函数,f,(,x,),在区间,I,上单调递增,.,特别地,当函数,f,(,x,),在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数,.,如果,x,1,x,2,I,当,x,1,f,(,x,2,),那么就称函数,f,(,x,),在区间,I,上单调递减,.,特别地,当函数,f,(,x,),在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数,.,如果函数,y=f,(,x,),在区间,I,上单调递增或单调递减,那么就说函数,y=f,(,x,),在这一区间具有,(,严格的,),单调性,区间,I,叫做,y=f,(,x,),的单调区间,.,【,问题探究2,】,设,A,是区间,D,上某些自变量的值组成的集合，而且任取,，,当,时,，,都有,，,我们能说函数,，,在区间,D,上单调递增吗？,你能举例说明吗？,【,问题探究3,】函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？,典型例题,例,1,根据定义，研究函数 的单调性.,解 函数,f,(,x,),=kx+b,(,k,0),的定义域为,R,.,x,1,x,2,R,且,x,1,x,2,则,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(,kx,1,+b,),-,(,kx,2,+b,),=k,(,x,1,-x,2,),.,由,x,1,x,2,得,x,1,-x,2,0,时,k,(,x,1,-x,2,),0,.,于是,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),.,这时,f,(,x,),=kx+b,是增函数,.,当,k,0,.,于是,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),这时,f,(,x,),=kx+b,是减函数,.,【,名师解惑,】,利用单调性定义求解函数单调性的一般步骤：,（,1,）取值：在定义域内任取两个自变量且规定大小；,（,2,）作差变形,：,并化简变形；,（,3,）判断符号：确定,的符号；,（,4,）定论：根据单调性定义得出结论,.,【,跟踪训练,1,】,画出反比例函数 的图象.,（1）求解函数 定义域；,（2）,在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论.,解 图象略,.,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,x|x,0;,(2),函数,f,(,x,),在区间,上单调递减,在区间,(0,+,),上单调递减,;,证明如下,:,对,x,1,x,2,且,x,1,x,2,都有,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,=k,.,由,x,1,x,2,0,x,1,x,2,0,k,0,所以,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),此时,f,(,x,),=,在区间,上单调递减,;,对,x,1,x,2,且,x,1,x,2,都有,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,=k,.,由,0,x,1,0,x,1,x,2,0,k,0,所以,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),此时,f,(,x,),=,在区间,上单调递减,.,例,2,物理学中的玻意耳定律 （,k,为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大.试对此用函数的单调性证明.,解 由题意可知,只需证明函数,p=,(,V,(0,+,),是减函数即可,证明如下,:,V,1,V,2,(0,+,),且,V,1,0;,由,V,1,0,又,k,0,于是,p,1,-p,2,0,即,p,1,p,2,.,所以,根据函数单调性的定义,函数,p=,V,(0,+,),是减函数,即当体积,V,减小时,压强,p,将增大,.,例,3,根据定义证明函数 在区间（1，+）上单调递增.,证明,x,1,x,2,(1,+,),且,x,1,1,x,2,1,所以,x,1,x,2,1,x,1,x,2,-,1,0,.,又由,x,1,x,2,得,x,1,-x,2,0,.,于是,(,x,1,x,2,-,1),0,即,y,1,y,2,.,所以函数,y=x+,在区间,(1,+,),上单调递增,.,【,跟踪训练,2,】,(,1,),根据定义证明函数,是增函数.,证明,x,1,x,2,R,且,x,1,x,2,有,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,3,x,1,+,2,-,(3,x,2,+,2),=,3(,x,1,-x,2,),.,由,x,1,x,2,得,x,1,-x,2,0,所以,3(,x,1,-x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,),=,3,x+,2,是增函数,.,【,跟踪训练,】,(,2,),证明函数,在,区间,上单调递增.,证明,x,1,x,2,(,-,0),且,x,1,x,2,有,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=-,-,(,-,),=,.,由,x,1,x,2,0,得,x,1,-x,2,0,所以,0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,),=-,在区间,(,-,0),上单调递增,.,1.函数,在下列区间上,单调递,减的是（）.,A（-1，3）B（,-,3，0）C（1，+）D（0，+）,B,评价反馈,2,.,若,定义在区间-5,，,5上的函数,f,(,x,),的图象如图所示,则下列关于函数,f,(,x,),的说法错误的,是,(),.,A.函,数在,区间,-5，-3,上单调递增,B.函,数,在区间,1，4,上单调递增,C.函数在区间,-3，1,4，5,上单调递减,D.函数在区间,-5，5,上不具有单调性,C,评价反馈,3.函数,在,R,上为增函数，且,，则实数,m,的取值范围是（）.,A.,B.,C.,D.,A,评价反馈,4.下列函数，在区间上,（,0，1,）,单调递,减的是（）.,A,B,C,D,B,评价反馈,5,.判断函数,的单调性,解 因为任取,x,1,x,2,-,1,6,且,x,1,x,2,则,x,1,-x,2,0,那么,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(3,x,1,+,5),-,(3,x,2,+,5),=,3(,x,1,-x,2,),0,所以,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,),=,3,x+,5,x,-,1,6,是增函数,.,评价反馈,1.,函数单调性的概念及符号表示；,2.,利用单调性定义求解、证明函数的单调性,.,课堂小结,完成学案后的素养专练,。