东南大学08-09-3高等数学b期末考试试卷(a)参考答案及评分标准
4页08-09-3高数B期末试卷(A)参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题,每小题4分,满分36分)1. 曲面在点处的法线方程是;2. 设,则梯度;3. 已知,则在方向的投影;4. 设闭曲线,取逆时针方向,则曲线积分的值是;5. 设函数具有一阶连续偏导数,则曲线积分与路径无关的充分必要条件是;6. 二重积分的值是; 7. 设为球面:,则曲面积分的值是;8. 设是折线,则曲线积分的值是; 9.取(注:答案不唯一),可使得级数收敛,且级数发散. 二. 计算下列各题(本题共4小题,满分30分)10(本小题满分7分)设,其中具有连续的二阶偏导数,具有连续导数,计算.解 ,(3分)(4分)11(本小题满分7分)计算,其中.解(1+1+3+2分)12(本小题满分8分)计算二次积分.解,(3+2+3分)13. (本小题满分8分)求密度均匀分布的立体的质心坐标.解 (1分)(1+1+2+2+1分)三(14)(本题满分7分)试求过点且与轴相交,又与直线垂直的直线方程.解 设为所求直线的方程,(1分)由于直线与轴相交,所以三个向量,及共面,从而,即 (1),(2分)又由于与互相垂直,得,即 (2)(2分)联立(1),(2)解得,所求直线的方程为(2分)四(15)。(本题满分7分)计算,其中是柱面被锥面和平面所截下的部分.解 (2分)(2+2+1分)五(16). (本题满分7分)计算 ,其中为曲线,方向沿增大的方向.解 记,由公式得(2+1+3+1分)六(17)(本题满分7分)计算,其中为被所截部分,取上侧.解 补一个面,取下侧,由和所围成的区域记为,由公式得(3+2+1+1分)七(18)(本题满分6分)证明不等式 ,.证 设,在区域的边界上恒为,而在内部恒为正,故的最大值只能在区域内部达到,(2分)令,在区域内求驻点,得(1)及(2),(2分)这表明在区域内的最大值点应满足方程(1)(2),然而在(1)(2)所确定的点上,所以,.(2分)共 3页 第 4 页
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