三角形的黄金分割线
3页1、三角形的黄金分割线如图1,点C将线段AB分成两部分,如果 ,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果 ,那么称直线l为该图形的黄金分割线。(1)研究小组猜想:在ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是ABC的黄金分割线。你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DFCE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是ABC的黄金分割线。请你说明理由。(4)如图4,点E是ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EFAD,交DC于点F,显然直线EF是ABCD的黄金分割线。请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点 好评率:80%解:(1)对的,设三角形ABC中AB上的高为h,则SADC:SABC=1/2*AD*h:1/2*AB*h=AD:AB根据已知D为AB的黄金分割点SA
2、DC:SABC=AD:AB=0.618:1(2)不对,因为中线将三角形分成两个三角形,他们的高相等,底边长也相等,面积为1:1,则分割出来的三角形面积与原来大的三角形面积比为1:2,不等于黄金分割比例。(3)设DE=x,设AB=a,三角形ABC的高为h,则AD=0.618a因为DFCE,则AEFADF则ADF中AD上的高:AEF中AE上的高=AD:AE=0.618a+x则ADF中AD上的高=0.618a/(0.618a+x)*h则SAEF=1/2*AE*ADF中AD上的=1/2*(0.618a+x)*0.618a/(0.618a+x)*h=1/2*0.618a*h则SAEF:SABC=1/2*0.618a*h:1/2*a*h=0.618:1 为黄金分割比例(4)过E点任作一条直线交DC于点M,再过点F作直线FNEM,交AB于点N,连接MN(图略),则直线EF也是ABCD的黄金分割线。可以证明:因为EFAD,则AE:AB=Df:DC=0.618:1,设AB=a,则AE=Df=0.618a设ABCD的高为h,则面积之比为 AE*h:DC*h=0.618:1设EN=x,则因为FNEM,四边形ENFM是平行四边形,有MF=EN,则梯形ANMD的面积=1/2*(DM+AN)*h=1/2*(DF-X+AE+X)*h=AE*h则面积之比为:AE*h:AB*h=AE:AB=0.618:1
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