共形映射 分式线形函数及其映射性质

1、第六章 共形映射,掌握共形映射的概念； 掌握解析函数的映射的几个重要性质； 掌握分式线性映射的主要性质； 掌握几个初等函数构成的映射,第一节 共形映射的概念,正确理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念； 掌握解析函数的映射的保域性、保伸缩率及旋转角的性质；,伸缩率与旋转角,可以看出，曲线被伸缩和旋转。,如图，过 点的曲线 经 映射后， 变成了过 点的曲线,1. 伸缩率,2. 旋转角,伸缩率和旋转角定量地刻画了 曲线经映射后的局部变化特征。,导数的定义,一、导数的几何意义,1. 导数的几何意义,为曲线 在 点的伸缩率。,为曲线 在 点的旋转角。,结论:,导数的几何意义表现为,2. 伸缩率不变性,3. 旋转角不变性,4.保角性,即 保持了两条曲线的交角的大小与方向不变。,二、共形映射的概念,三、共形映射的基本问题,对于问题一，有下面两个定理,对于问题二，有下面定理,掌握分式线性函数的映射性质,第二节 分式线性函数,一、分式线性函数的定义,分式线性函数是指下列形状的函数：,其中 是复常数，而且 。,在 时，我们也称它为整线性函数。,分式线性函数的反函数为,它也是分式线性函数，其中,注：,

2、(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平面 。 (2)当 时，规定它把 映射成 ； (3)当 时，规定它把 映射成,二、分式线性函数的拓广,保形映射的概念可以扩充到无穷远点及其邻域。,把 及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说 w=f(z) 把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。,如果,注：分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。,如果,把 及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。,三、分式线性函数的分解,一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：,（1）、 （ 为一个复数）；,（2）、 （ 为一个实数）；,（3）、 （r为一个正数）；,（4）、 。,事实上，我们有：,（2）、 确定一个旋转；,（3）、 确定一个以原点为相似中心的相似映射；,（4）、 是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得。,（1）、 确定一个平移；,把z及w看作同一个复平面上的点，则有：,四、映射的性质,1、保圆性 规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射

3、成圆。,证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及 型的函数所确定的映射复合而得。 但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射 也把圆映射为圆即可。,注解：,(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C。于是，C及C把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， 及 ，其边界分别是C及C。,(2)、映射后的区域的象究竟是 还是 ，必须通过检验其中某一个点的象来决定。,定理6.7 对于扩充 z平面上任意三个不同的点 以及扩充 w平面上任意三个不同的点 存在唯一的分式线性函数，把 依次分别映射成,2、保形性,证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是,那么，由,得,同理，有：,因此，有,由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。,其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：,那么，由,同理有,由此，我们可以解出分式线性函数。显然这样的分式线性函数也是唯一的。,和 分别称为 及 的交比。 分别记为 ，,注：,推论 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩

4、充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点 ，那么,定理6.8 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。,证明：设C是z平面上的一个圆，C是w平面上的一个圆，在C和C上分别取三个不同的点 ，,由定理6.7，存在一个分式线性函数，把 映射成 ，从而把圆C映射成圆C。,设已给圆,3、保对称点性,如果两个有限点 及 在过 的同一射线上，并且,那么我们说它们是关于圆C的对称点。,注解 1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点； 2、规定 及 是关于圆C的对称点； 3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点。,引理6.1 不同两点 及 是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆C正交。,证明： 如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆， 及 之中有一个是无穷远点，则结论显然。,必要性 设 及 关于圆C的对称，那么通过 及 的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C正交。,作过z1及 z2的任何圆C （半径为有限）； 过z0作圆C的切线，设其切点是z，于是,从而,这说明 zC 。 从而上述C的切线恰好是圆C的半径，因此C与C直交。,显

5、然，z1 及 z2在这切线的同一侧。又过 z1及z2作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心 z0 。于是 z1及z2在通过z0 的一条射线上。,充分性 过 z1及 z2 作一个圆C （半径为有限），与C交于一点z。由于圆C与C正交，C在z的切线通过圆C的心 z0 。,则,因此， z1及 z2是关于圆C的对称点。,定理6.9(保圆的对称性） 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C，那么它把关于圆C的对称点z1及z2映射成关于圆C的对称点 w1及w2 。,证明： 过w1及w2的任何圆是由过z1及z2的圆映射得来的。 由引理6.1，过z1及z2的任何圆与圆C直交。 从而由分式线性函数的保形性，过w1及w2的任何圆与圆C直交。 再利用引理6.1，w1及w2是关于圆C的对称点。,由定理6.1、定理6.9知，上式表示一个圆，z1及z2是关于它对称点。,例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。,五、两个特殊的分式线性函数,(1)、上半平面Imz0保形映射成单位圆|w|1内部的分式线性函数,解：该函数应当一方面把Imz0内某一点 z0 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。

6、由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把z0映射成w=0，而且把 映射成w=。,其次，如果z是实数，那么,于是 ，其中 是一个实常数。,由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz0映射成|w|1。又因为当z=z0时，|w|=01，因此该函数正是所要求的。,因此所求的函数应是,注解：,1、圆盘|w|1的直径是由通过z0 及 的圆在上半平面的弧映射成的；,2、以w=0为心的圆由以 z0及 为对称点的圆映射成的；,3、w=0是由 z = z0 映射成的。,(2)、把单位圆|z|1保形映射成单位圆盘|w|1的分式线性函数,解：首先，这种函数应当把|z|1内某一点z0 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。,不难看出，与z0关于圆|z|=1的对称点是 ，和上面一样，这种函数还应当把 映射成,因此这种函数的形状是：,其中 是一个复常数。,其次，如果|z|=1时，那么,于是,因此 ，其中 是一个实常数。,所求的函数应是,由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|1，又因为当z=z0时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。,注解：,1、圆盘|w|1的直径是由通过 及 的圆在|z|1内的弧映射成的；,2、以w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的；,3、w=0是由 映射成的。,

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