高数上册期末考试复习典型题资料.docx
18页1、第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1.(等价小量与洛必达) 2. 已知 (洛必达) 3. (重要极限) 4.已知a、b为正常数, (变量替换) 5. 解:令 6. (变量替换) 7.已知在x=0连续,求a 解:令(连续性的概念) 三、补充习题(作业) 1.(洛必达) 2.(洛必达或Taylor) 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基
2、本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定,求 2.决定,求 解:两边微分得x=0时,将x=0代入等式得y=1 3.决定,则 B.曲线切法线问题 5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。 解:需求,等式取x-0的极限有:f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知, ,求点的性质。 解:令,故为极小值点。 7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解:定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解:, D.幂级数展开问题 10.求 解: = E.不等式的证明 11.设, 证:1)令 2)令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数
3、,且, ,求证:在(-1,1)上存在一点 证: 其中 将x=1,x=-1代入有 两式相减: 13.,求证: 证: 令 令 (关键:构造函数) 三、补充习题(作业) 1. 2.曲线 3. 4.证明x0时, 证:令 高数(上册)期末复习要点 第一章:1、极限(夹逼准则)2、连续(学会用定义证明一个函数连续,判断间断点类型)第二章:1、导数(学会用定义证明一个函数是否可导) 注:连续不一定可导,可导一定连续2、求导法则(背)3、求导公式 也可以是微分公式第三章:1、微分中值定理(一定要熟悉并灵活运用-第一节)2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值(高中学过,不需要过多复习)5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章:积分不定积分:1、两类换元法(变dx/变前面) 2、分部积分法 (注意加C ) (最好都自己推导一遍,好记) 定积分: 1、定义 2、反常积分第六章: 定积分的应用主要有几类:极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章:向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线(两直线的夹角、线面夹角、求直线方程) 3、空间平面 4、空间旋转面(柱面) 高数
4、解题技巧。 (高等数学、考研数学通用) 高数解题的四种思维定势 第一句话:在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 第二句话:在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 第三句话:在题设条件中函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)f(b)=0,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 第四句话:对定限或变限积分,若被积函数或其主要部分为复合函数,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 第一句话:题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 第二句话:若涉及到A、B是否可交换,即ABBA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话:若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解因子aA+bE再说。 第四句话:若要证明一组向量1,2,S线性无关,先考虑用定义再说。 第五句话:
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