（新课程）高中数学《2.3.1数学归纳法》教案2 新人教A版选修2-2

1、数学归纳法一、教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。难点：归纳猜想证明。三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 注意从“n

2、=k到n=k+1”时项的变化。【例题评析】例1：求证: 能被整除（nN+）。例2：数列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通项公式，并证明你的猜想。说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳猜想证明变题：（2002全国理科）设数列an满足，nN+, (1)当a1=2时，求，并猜想an的一个通项公式； （2）当a13时，证明对所有的n1,有 ann+2 例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。例4：设函数f(x)是满足不等式,(kN+)的自然数x的个数；（）求f(x)的解析式；（）记Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),试比较n与n的大小。【课堂小结】1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳猜想证明。2.两个注意： （1）是否用了归纳假设？ （2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？【反馈练习】1 观察下列式子 则可归

3、纳出_ (nN*)1用数学归纳法证明 2已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。3.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.【课外作业】 课标检测课题:复习课一、教学目标：1了解本章知识结构。2进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。课题:数学归纳法3认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力三、教学过程：【创设情境】推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法数学归纳法一、知识结构：【探索研究】我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。【例题评析】例1：如图第n个图形是由正边形“扩展”而来,（，）。则第n2个图形中共有_个顶点。变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

4、第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖 块。例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_;变题1：已知，m是非零常数，xR,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）例3：设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：为偶函数。例4：设Sn=1+ (n1,nN),求证： （）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。变题：是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2（1）n=1时，等式以证，成立。（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)

5、+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 【课堂小结】体会常用的思维模式和证明方法。【反馈练习】1（2005辽宁）在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则ABCD2定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形（1）（2）（3）（4）那么下列图形中（1）（2）（3）（4）可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A（1）、（2） B（2）、（3） C（2）、（4） D（1）、（4）3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 6解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=

6、(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 4 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论 解 (1) 设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明 由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立 假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时， ,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a1时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+1【课外作业】 课标检测8

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