高数上册期末考试复习典型题资料.docx

第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求   1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法     A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（等价小量与洛必达）    2. 已知    （洛必达）  3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数，     （变量替换）  5. 解：令 6. （变量替换）  7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念）   三、补充习题（作业）  1. （洛必达） 2. （洛必达或Taylor）   第二讲 导数、微分及其应用   一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）  二、题型与解法  A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题 5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， D.幂级数展开问题 10.求 解： = E.不等式的证明 11.设， 证：1）令             2）令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） 三、补充习题（作业）  1. 2.曲线 3. 4.证明x>0时,  证：令             高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法（变dx/变前面）              2、分部积分法 （注意加C ） （最好都自己推导一遍，好记） 定积分： 1、定义 2、反常积分第六章： 定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。 （高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 第三句话：在题设条件中函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 第四句话：若要证明一组向量1,2,S线性无关，先考虑用定义再说。 第五句话：若已知AB0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 第七句话：若已知A的特征向量0，则先用定义A000处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 第二句话：若给出的试验可分解成（01）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 第四句话：若题设中给出随机变量X N 则马上联想到标准化 N(0,1)来处理有关问题。 第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条/y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而 的求法类似。 第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Yg(X)或(Yg(X)的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度 的平面区域及满足Yg(X)或(Yg(X)的区域的公共部分。 第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（01）分解。即令 第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。 第九句话：若 为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量 的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的定义进行讨论   线代期末复习要点第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算 一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A')-1=(A-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：  |A|0；r(A)=n;  A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*；(A*    A的伴随矩阵)初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A-1）B；XB=A，则X=B(A-1)；AXB=C，则X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理： (1) r(A,b)r(A)  无解；(2) r(A,b)=r(A)=n  有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n   有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1)  r(A)=n  只有零解；(2)  r(A)<n  有非零解；     再特别，若为方阵， (1)|A|0  只有零解(2)|A|=0   有非零解2齐次线性方程组 （1）解的情况： r(A)=n，（或系数行列式D0）只有零解；r(A)<n，（或