三角函数解题技巧与公式(已整理)技巧归纳以与练习题
19页1、A浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下:一、关于的关系的推广应用:1、由于故知道,必可推出,例如:例1 已知。分析:由于 其中,已知,只要求出即可,此题是典型的知sin-cos,求sincos的题型。 解: 故: 2、关于tg+ctg与sincos,sincos的关系应用:由于tg+ctg= 故:tg+ctg,sincos三者中知其一可推出其余式子的值。例2 若sin+cos=m2,且tg+ctg=n,则m2 n的关系为( )。Am2=n Bm2= C D分析:观察sin+cos与sincos的关系: sincos=而:故:,选B。例3 已知:tg+ctg=4,则sin2的值为( )。 A B C D分析:tg+ctg= 故:。 答案选A。例4 已知:tg+ctg=2,求分析:由上面例子已知,只要能化出含sincos或sincos的式子,则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=,此题只要将化成含sincos的式子即可:解:=+2 sin2cos2-2
2、 sin2cos2 =(sin2+cos2)- 2 sin2cos2 =1-2 (sincos)2 =1- = = 通过以上例子,可以得出以下结论:由于,sincos及tg+ctg三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知sincos,求含的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于()2=12sincos,要进行开方运算才能求出二、关于“托底”方法的应用:在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg(或ctg)与含sin(或cos)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下:例5 已知:tg=3,求的值。分析:由于,带有分母cos,因此,可把原式分子、分母各项除以cos,“造出”tg,即托出底:cos;解:由于tg=3 故,原式=例6 已知:ctg= -3,求sincos-cos2=?分析:由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例4有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以sin,造出c
3、tg:解: 例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)设,求:的值分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于,故,在等式两边同除以,托出分母为底,得:解:由已知等式两边同除以得: “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用,把作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。三、关于形如:的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如的式子都可以变成含的式子,由于-11,所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子:中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:-1sinA1,-1cosA1,可以如下处理式子: 由于。故可设:,则
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