三角函数解题技巧与公式(已整理)技巧归纳以与练习题

A浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于的关系的推广应用：1、由于故知道，必可推出，例如：例1 已知。分析：由于 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。 解： 故： 2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：由于tg+ctg= 故：tg+ctg，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2 n的关系为（ ）。Am2=n Bm2= C D分析：观察sin+cos与sincos的关系： sincos=而：故：，选B。例3 已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。 A B C D分析：tg+ctg= 故：。 答案选A。例4 已知：tg+ctg=2，求分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=，此题只要将化成含sincos的式子即可：解：=+2 sin2cos2-2 sin2cos2 =（sin2+cos2）- 2 sin2cos2 =1-2 (sincos)2 =1- = = 通过以上例子，可以得出以下结论：由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5 已知：tg=3，求的值。分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos；解：由于tg=3 故，原式=例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=?分析：由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：解： 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）设，求：的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得：解：由已知等式两边同除以得： “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。三、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-11，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1sinA1，-1cosA1，可以如下处理式子： 由于。故可设：，则，即：无论取何值，-1sin(A±x)1，即：下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数的最大值为（AAAA ） A B C D分析：，再想办法把变成含的式子：于是： 由于这里：设： 无论A-2x取何值，都有-1sin(A-2x)1，故的最大值为，即答案选A。例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使DEF为正三角形，记FEC=，问：sin取何值时，EFD的边长最短？并求此最短边长。分析：首先，由于，可知ABC为Rt，其中AB为斜边，所对角C为直角，又由于，则B=90°A=60°，由于本题要计算DEF的最短边长，故必要设正DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。观察BDE，已知：B=60°，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=·cos，则BE=BC-EC=1-·cos。而B+BDE+1=180° +DEF+1=180° BDE= B=60°，DEF=60°在BDE中，根据正弦定理：在这里，要使有最小值，必须分母：有最大值，观察：设：，则故：的最大值为。即：的最小值为：而取最大值为1时，即：时，DEF的边长最短，最短边长为。从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与的最值有关；其中最大值为，最小值为。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.1.sin(k+)=(-1)ksin(kZ)；2. cos(k+)=(-1)kcos(kZ)；3. tan(k+)=(-1)ktan(kZ)；4. cot(k+)=(-1)kcot(kZ).二、见“sin±cos”问题，运用三角“八卦图”1.sin+cos>0(或<0)ó的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2. sin-cos>0(或<0)ó的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sin|>|cos|ó的终边在、的区域内;4.|sin|<|cos|ó的终边在、区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tan,求sin与cos的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2+cos2.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(+)sin(-)= sin2-sin2;2. cos(+)cos(-)= cos2-sin2.七、见“sin±cos与sincos”问题，起用平方法则：(sin±cos)2=1±2sincos=1±sin2,故1.若sin+cos=t,(且t22),则2sincos=t2-1=sin2;2.若sin-cos=t,(且t22),则2sincos=1-t2=sin2.八、见“tan+tan与tantan”问题，启用变形公式:tan+tan=tan(+)(1-tantan).思考：tan-tan=？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A0)1.函数y=Asin(wx+)和函数y=Acos(wx+)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asin(wx+)和函数y=Acos(wx+)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+)和函数y=Acot(wx+)的对称性质。十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：1.|sinx|1,|cosx|1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+)(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2c2.十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)万能公式 sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2)