连分数,历法,关系,读书报告

1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划连分数,历法,关系,读书报告连分数编辑在数学中，连分数或繁分数即如下表达式：这里的是某个整数而所有其他的数都是正整数。可依样定义出更长的表达式。如果部分分子和部分分母允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。目录隐藏1例子2345动机连分数表示的算法连分数的表示法有限连分数6连分数的倒数7无限连分数8一些有用的定理定理1定理2定理3定理4定理59半收敛10最佳有理数逼近11连分数历史12参见13注释14外部链接15参考文献例子编辑连分数常用于无理数的逼近，例如：由此得到的渐近分数、?由此得到黄金分割的渐近分数、?注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列。由此得到圆周率的渐近分数、?数学上可以证明，由连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。动机编辑研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的

2、表示。多数人熟悉实数的小数表示：这里的a0可以是任意整数，其它ai都是0,1,2,.,9的一个元素。在这种表示中，例如数被表示为整数序列3,1,4,1,5,9,2,.。这种小数表示有些问题。例如，在这种情况下使用常数10是因为我们使用了10进制系统。我们还可以使用8进制或2进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如，数1/3被表示为无限序列0,3,3,3,3,.。连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如415/93，约为。近似为4，而实际上比4多一点，约为4+1/2。但是在分母中的2是不准确的；更准确的分母是比2多一点，约为2+1/6，所以415/93近似为4+1/(2+1/6)。但是在分母中的6是不准确的；更准确分母是比6多一点，实际是6+1/7。所以415/93实际上是4+1/(2+1/(6+1/7)。这样才准确。去掉表达式4+1/(2+1/(6+1/7)中的冗余部分可得到简略记号4;2,6,7。实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质：?一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。“简单”有理数的连分数表示是简

3、短的。任何有理数的连分数表示是唯一的，如果它没有尾随的1。无理数的连分数表示是唯一的。连分数的项会循环，当且仅当它是一个二次无理数的连分数数x的截断连分数表示很早产生x的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近。最后一个性质非常重要，且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截断1/7=.在各种位置上产生逼近比，如142/1000、14/100和1/10。但是明显的最佳有理数逼近是“1/7”自身。的截断小数表示产生逼近比，如31415/10000和314/100。的连分数表示开始于3;7,15,1,292,.。截断这个表示产生极佳的有理数逼近3、22/7、333/106、355/113、/33102、.。314/100和333/106的分母相当接近，但近似值314/100的误差是远高于333/106的19倍。作为对的逼近，3;7,15,1比精确100倍。连分数表示的算法编辑考虑实数r。设i是r的整数部分，而f是它的小数部分。则r的连分数表示是i;?，这里的“?”是1/f的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。要计算实数r的连分数表

4、示，写下r的整数部分。从r减去这个整数部分。如果差为0则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当r是有理数。数还可以表示为连分数展开3;4,12,3,1；参见下面的有限连分数。这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致数值灾难。作为替代，任何浮点数是一个精确的有理数，所以欧几里得GCD算法的变体可以用来给出精确的结果。连分数的表示法编辑可以把连分数简写作：或者，用Pringsheim的记法写作：还有一个有关的记法：有时使用尖括号，如：在使用尖括号的时候，分号是可选的。还可以定义无限简单连分数为极限：对于正整数a1,a2,a3.的任意选择，皆存在此一极限。或者可以用高斯的记法有限连分数编辑所有有限连分数都表示一个有理数，而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在较长的连分数表示，其最终项是1；较短的表示去掉了最后的1，而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大于1，如果短表示至少有两项的话。其符号表示：例如：连分数的倒数编辑有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小于或大于1而分别左移或右移一位以外是相同的。换

5、句话说，和互为倒数。这是因为如果是整数，接着如果，则，则且且，而且如果带有最后的数生成对和它的倒数是同样的的连分数的余数。例如：无限连分数编辑所有无限连分数都是无理数，而所有无理数可用一种精确的方式表示为无限连分数。无理数的无限连分数表示是非常有用的，因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理关于连分数在解方程方面的应用姓名:温巧婷学号:摘要本文主为了说明连分数在方程方面的应用，首先介绍实数展成连分数的方法，接着介绍连分数在解方程方面的应用，最后提出一些建议。关键词连分数；连分数展式；解方程1.引言研究连分数源于实数在“数学上有纯粹的”表示。每一个实数基本上能够唯一地表成简单连分数，并且连分数在对求无理数的有理近似值方面有很好的应用。学习了循环连分数后我们知道“每一循环连分数一定是某一整系数二次不可约方程的实根”初等数论闵嗣鹤、严士健编，说明了方程与连分数之间具有某种关系，于是猜想连分数在解方程方面具有某种方便的作用或说可以提供一种全新的解题思路，所以收集了连分数在解方程方面的一些论文。在应用连分数解方程时，首先要知道实数如何展成连分数以及展式的一些性质，因为在解方程的过

6、程中涉及到这方面的知识，因此也收集了实数展成连分数及其展式性质的一些论文。本文主要介绍实数展成连分数和利用连分数解方程的一些研究成果。2.正文连分数的理论在今天的数学中起着重要作用。在数论及线性方程的研究中，它成为一个最重要的工具。连分数与概率论、级数递归、函数逼近及工程技术均有联系，它的展开能使经济问题转化为数学的技巧问题得到解决。在计算机领域中，连分数常被用来作出各种复杂函数的近似，并且一旦为计算机编码之后就迅速地给出对于科学和应用数学有价值的数值结果。下面我们着重研究连分数在解方程方面的应用。一、利用连分数解方程的现状这方面的研究成果比较丰富：连分数在解丢番图方程的p_adic算法，连分数求解一次不定方程，循环连分数与Pell方程等等。由于计算机的发展，机械数学也越来越受到关注，希望可以用计算机解决具体的数学问题，所以每种解法都希望可以写成一种算法，在解方程这一块，利用连分数解题的算法也如雨后春笋般涌现出来。二、展成连分数及其展式的一些成果有限连分数b;a1,b1,L,an,bn是由整数b;a1,b1,L,an,bn经过有限四则运算的结果，所以它的值是一个有理数，反之对有理数a，

7、有ba?a?a?a?b0?1,(b0,a1,b1是整数，且0?a1pb1)b?b?b?b1故任一有理数都可表为有限连分数，而且有理数表为有限连分数的表法不唯一；若无限连分数0,a1,b1,L,an,bn收敛，值一定是无理数，反之任一无理数都可表示为无限连分数。31、a?n的连分数展开式ba?np?pmpm?pm?1?a?n?a?p1p1?p2可展开：?,?,m?1,?.其中，若bbq1qm?1qm?b?当bna时，b?0取?k的最大整数p，使b?a?p?，其商便是连分数的第一部分商，若b?0取?k的最小整数p，使b?a?p?，以此类推得到。2、d连分数展开式特征性质和Pell方程的基本解若d的连分数展开式中，n是使an?1?2a1成立的最小足标，则当n为偶数时，x?dy?122无整数解，pn,qn为x?dy?1的基本解；当n为奇22数时，pn,qn为x?dy?1的基本解，p2n,q2n为x?dy?1的基本解。3、无理数表成连分数的几个公式公式一：m,p,k?N，则2222?k?m?2?4?mpk?m?k?/p/2为无理数,且可表成连分数m2?4/n/2为无理数,且可表成连分?m,p,k

8、,k?m,p,k?m,?；公式二：设m,n?N，则?m?数?0,mn,m,mn,m,?；公式三：设m,n?N，则mn?m2n2?4mn/2n为无理数,且可表成连分数?m,n,m,n,?m?k?；公式四：设m,p,k?N,?Q?，若m?,p/?,?r1?m?N，则k?m2?4mpk?m?k/p?/2?为无理数，且可表成连分数?m?,p/?,?k?m?,p/?,?k?m?,?。三、利用连分数解方程的研究成果1、一次丢番图方程ax?by?1的解将连分数展开成渐近分数是利用辗转相除法得到的，而求一次丢蕃图方程和一次同余方程的解的过程也可通过辗转相除求得.如解一次同余方程ax?1?modb?中使用飞大衍求一术。所以连分数与一次不定方程、一次同余方程有密切的关系，其中的基础就是辗转相除法。将a/b即pn/qn展开为连分数，倒数第二个渐近分数pn?1/qn?1的分子pn?1就是y值，分母qn?1就是x值。同样可求一次同余方程ax?1?modb?的解。2、n元一次不定方程的全体整数解设整数k?2,c,a1,?,ak是整数且a1,?,ak都不等于零，若不定方程a1x1?akxk?c有解，则全体整数解为a2?2bQ?2na,at1,i?1;12?a,?,ai?1?t,i?2,3,?,k?1;?xi?biPni?1i?1a,?,a1i?cPk?a,?,a?t,i?1k?1?ai?1?i?1bQ?ti,i?2,3,?,k?2;?i?1na1,?,ai?1bi?k上式中，而Pnk,Qn写成连分数形式，再求出它的第n?cQk?at,i?k?1?n个渐近分数Pn便可以得到，。Qn223、佩尔方程ax?by?1的最小解佩尔方程ax?by?1的最小解的求法：22?通过求pb?的连分数的渐近分数k?k?Z?，然后再找出满足方程ax2?by2?1的渐近分数qka?pk,qk?k?Z?，则满足方程apk2?bqk2?1的最小的?pk,qk?k?Z?即为方程ax2?by2?1的最小解。通过求ab的连分数的渐近分数pts?，从而得出最小的?pts,qts?，则最小的?pts,qts?即为方程ax2?by2?1的最小解。4、佩尔方程x2?Dy2?1的通解若p,q是满

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