《不等式和绝对值不等式》课件
46页1、第一讲 不等式和绝对值不等式,1、不等式,1、不等式的基本性质: 、对称性: 传递性:_ 、 ,a+cb+c 、ab, , 那么acbc; ab, ,那么acbc 、ab0, 那么,acbd 、ab0,那么anbn.(条件 ) 、 ab0 那么 (条件 ),练习:1、判断下列各命题的真假,并说明理由: (1)如果ab,那么acbc; (2)如果ab,那么ac2bc2; (3)如果ab,那么anbn(nN+); (4)如果ab, cb-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。,(假命题),(假命题),(真命题),(假命题),解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =200, 所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6),例2、 已知ab0,cd0,求证:,例1、求证:如果ab0,cd0,那么acbd。,证明:因为ab0, cd0, 由不等式的基本性质(3)可得acbc, bcbd, 再由不等式的传递性可得acbcbd。,练习: 如果ab,cd,是否一定能得出acbd?并说明理由 。,例3、若a、b、x、yR,则
2、是 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,C,例5、已知f(x)=ax2+c,且-4f(1)-1,-1f(2)5,求f(3)的取值范围。,例4、对于实数a、b、c,判断下列命题的真假: (1)若cab0,则 (2)若ab, ,则a0,b0。,(真命题),(真命题),f(3)的取值范围是-1, 20,例6、已知a0,a2-2ab+c2 =0,bca2,试比较a、b、c的大小。,解:因为bca20,所以b、c同号;又a2+c2=2ab0,且 a0,所以b= 且c0。 因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )0,所以b-c0. 当b-c0,即bc时,b= 得 所以a2c+c3 2a3即a3-c3+a3-a2c0,b0,c0,所以2a2+ac+c20,故a-ca2, 所以b2a2,即ba。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0,所以a=b, 与前面矛盾,故bc.所以acb.,小结:理解并掌握不等式的六个基本性质,作业:课本P10第3题。求证: (1)如果ab, ab0,那么 (2)如果ab0,cd0,
3、那么acbd。 选做题:设ab,cd, 求证:ac+bd (a+b)(c+d),2、基本不等式,定理1 如果a, bR, 那么 a2+b22ab. 当且仅当a=b时等号成立。 探究: 你能从几何的角度解释定理1吗? 分析:a2与b2的几何意义是正方形面积,ab的几何意义是矩形面积,可考虑从图形的面积角度解释定理。,如图把实数a, b作为线段长度, 以ab为例,在 正方形ABCD中, AB=a;在正方形 CEFG中,EF=b. 则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab,其值等于图中有阴影部分的面积,它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b22ab.当且仅当a=b时,两个矩形成为正方形,此时有 a2+b2=2ab。,定理2(基本不等式) 如果a,b0,那么 当且仅当a=b时,等号成立。,证明:因为 =a+b-2 0, 所以a+b , 上式当且仅当 ,即a=b时,等号成立。,称为a,b的算术平均,称为a,b的几何平均,两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。,如图在直角三角形中,CO、CD分别是斜边上的中线和高,设AD=
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