2019届高考数学（文科）五三课件4.4《解三角形》

1、4.4 解三角形,高考文数 ( 课标专用),考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2018课标全国,7,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4 B. C. D.2,A组 统一命题课标卷题组,五年高考,答案 A 本题考查半角公式和余弦定理. cos C=2cos2 -1=2 -1=- ,BC=1,AC=5, AB= = =4 .故选A.,易错警示 利用余弦定理求解时,误认为cos C的值为 而错选D.,2.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b=( ) A. B. C.2 D.3,答案 D 解法一:由余弦定理得5=22+b2-22bcos A, cos A= ,3b2-8b-3=0,b=3 .故选D. 解法二:由cos A= 得sin A= ,根据 = 得sin C= ,所以A与C互余,故ABC为直角三 角形,因此b= =3.,3.(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0, a=2,c

2、= ,则C= ( ) A. B. C. D.,答案 B 解法一:在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A= . 由 = 得 = ,sin C= , 又0C ,C= ,故选B. 解法二:在ABC中,由sin A(sin C-cos C) =sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C+cos Asin C =(sin A+cos A)sin C-sin(A+C) =(sin A+cos A)sin C-sin B,4.(2018课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为 .,解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出s

3、in A是解决本题的关键.,5.(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A=.,易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.,6.(2017课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A, 则B= .,思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.,考点二 解三角形及其应用 1.(2018课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C= ( ) A. B. C. D.,答案 C 因为a2+b2-c2=2abcos C, 且SABC= , 所以SABC= = absin C, 所以tan C=1,又C(0,), 所以C= .故选C.,2.(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.,答案 D 解法一:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD= ,B= ,AD=BD,BAD= , BD= ,

4、DC= a,tanDAC= =2.,3.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= .,解后反思 三角形中,已知两个角的三角函数值求第三个角的三角函数值时,常用两角和的正 (余)弦,结合三角形的内角和定理求解.,4.(2014课标,16,5分,0.372)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从 A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=6 0.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.,思路分析 ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;AMC中,由条件利用正 弦定理求得AM;RtMNA中,根据MN=AMsinMAN求得结果.,5.(2015课标,17,12分,0.452)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)设B=90,且a= ,求ABC的面积.,解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由

5、余弦定理可得cos B= = . (6分) (2)由(1)知b2=2ac. 因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a= . 所以ABC的面积为1. (12分),思路分析 (1)由题意和正弦定理可得b2=2ac,当a=b时,c= ,代入cos B= 计算可得;(2) 由题意可得b2=2ac=a2+c2,解方程可得c的值,代入S= ac即可.,6.(2015课标,17,12分,0.139)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. (1)求 ; (2)若BAC=60,求B.,解析 (1)由正弦定理得= , = . 因为AD平分BAC,BD=2DC, 所以 = = . (2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60, 所以sinC=sin(BAC+B)= cosB+ sinB. 由(1)知2sinB=sinC, 所以tanB= ,即B=30.,7.(2014课标,17,12分,0.154)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积.,解析 (1)由题设及余弦定理得

6、 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C =13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A =5+4cos C. 由得cos C= ,故C=60,BD= . (2)四边形ABCD的内角A与C互补,C=60,A=120. 四边形ABCD的面积S= ABDAsin A+ BCCDsin C = 12sin 120+ 32sin 60=2 .,思路分析 (1)在BCD和ABD中,利用余弦定理表示出BD2,根据两者相等求出cos C的值,确 定C的度数,进而求出BD. (2)由C的度数求出A的度数,利用三角形面积公式求出ABD与BCD的面积,求和即为四边 形ABCD的面积.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2015广东,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2 ,cos A= 且bc,则b = ( ) A.3 B.2 C.2 D.,答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,bc=2 ,b=2.选C.,评析 本题考查正弦定理等解三角形的基础知识

7、,考查学生对知识的应用转化能力和运算求 解能力,运用正弦定理进行正确转化是解决本题的关键.,2.(2014江西,5,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则 的值 为 ( ) A.- B. C.1 D.,答案 D 由正弦定理知, = = -1,又知3a=2b,所以a= b,故 -1= - 1= ,故选D.,3.(2016山东,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A= ( ) A. B. C. D.,答案 C 在ABC中,由b=c,得cos A= = ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A, 即tan A=1,又知A(0,),所以A= ,故选C.,4.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B=,c= .,5.(2015重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则 c= .,6.(2017天津,15,13分)在A

8、BC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac= (a2 -b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.,解析 (1)由asin A=4bsin B,及 = ,得a=2b. 由ac= (a2-b2-c2), 及余弦定理,得cos A= = =- . (2)由(1),可得sin A= ,代入asin A=4bsin B, 得sin B= = .,由(1)知,A为钝角,所以cos B= = . 于是sin 2B=2sin Bcos B= ,cos 2B=1-2sin2B= , 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A= - =- .,规律总结 解有关三角形问题时应注意: (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能 够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理; 如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到 两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.,7.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若cos B= ,求cos C的值.,解析 (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B0,0 , 故 + =2. 故 的取值范围为(2,+).,2.(2017浙江,11,5分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .,

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