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信号与系统教案第3章

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1、第 4 第三章连续系统的频域分析周期信号的傅里叶级数非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换取样定理第 4 周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式 22d)c o s ()(2 22d)s i n ()(2 将上式同频率项合并，可写为 10 )c o s (2)( n nn 式中， 22 r c t a n将和 n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为 n0，所以称这种频谱为单边谱。第 4 例。已知信号表达式： )37s i n ()32c o s (4)(1 )35s i n ()32c o s (4)(2 判断信号是否为周期的。若是，试求基波频率。第 4 二、指数形式 |和 n的关系，称为双边谱。若可直接画第 4 傅里叶级数三、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数对称纵坐标 22d)c o s ()(2 22d)s i n ()(20，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数对称于原点 0，展开为正弦级数。第 4 傅里叶级数 3 .f(t)为奇谐函数 f(t

2、) = f(t T/2) f ( t )T / 2此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=b 2=0 第 4 傅里叶级数四、周期信号的功率 |)(21)()(1周期信号一般是功率信号，其平均功率为第 4 例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求 f(t) 的平均功率。 63s i o 五、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为 1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为 T，如图所示。求频谱。 f ( t )221 2222 22s 2s i n (2第 4 )()2( n , n = 0 , 1， 2，直接画成一个频谱图。设 T = 4画图。零点为 2所以， F 22441特点： (1)周期信号的频谱具有谐波 (离散 )性。谱线位置是基频的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。第 4 傅里叶变换非周期信号的频谱傅里叶变换一、傅里叶变换 tj )( 2 1)( 傅里叶反变换式第 4 傅里叶变换也可简记为 F(= F f(t) f(t) = F 1F( 或 f(t) F( F(

3、般是复函数，写为 F(= | F(e j () = R() + ) 函数 f(t)的傅里叶变换存在的充分条件 : d)(用下列关系还可方便计算一些积分 ()0( d)(2 1)0( 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换 1. 单边指数函数 f(t) = et(t)， 0实数 10 t) 10)(02. 双边指数函数 f(t) = et , 0 10 t)2200 211 傅里叶变换 3. 门函数 (矩形脉冲 ) 2,02,1)( (t)22222/2/)2S a ()2s i n (2 4. 冲激函数 (t)、 (t) 1)( 0ed )(第 4 傅里叶变换 5. 常数 1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。 )(21 )s g n ( )s g n (2121)( 第 4 例。求 f(t)的傅里叶变换。第 4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性如果 f1(t) F1( f2(t) F2(则 a f1(t) + b f2(t) a F1(+ b F2( 第 4 里叶变换的性质例。 F(= ? 0f ( t )1则 : f

4、(t) = f1(t) g2(t) f1(t) = 1 2() g2(t) 2) F(= 2() - 2) 0f 1 ( t ) ( t )1- 第 4 傅里叶变换的性质二、时移性质如果 f (t) F()(e)( 00 则例。 F(= ? 0f ( t )214 6 8第 4 傅里叶变换的性质三、对称性质如果 f (t) F( 则 F( 2 f () 例 F(= ? 211)(* 232)(22(= ? 第 4 傅里叶变换的性质四、频移性质如果 f (t) F( 则 )(e)( 00 例、 f(t) = F(= ? f(t) = F(= ? f(t) ? 第 4 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质如果 f (t) F( 则 |1)(例若 f (t) F( 求 f ( b) ? 例 f(t) = F(= ? 11 傅里叶变换的性质六、卷积性质若 f1(t) F1( f2(t) F2(则 f1(t)*f2(t) F1(2(若 f1(t) F1( f2(t) F2(则 f1(t) f2(t) F1(F2(21第 4 傅里叶变换的性质例。 ?)(s i 傅里叶变换的性质

5、七、时域的微分和积分若 f (t) F( 则 )()()()( ()()0(d)( d)()()0( 0f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j ) n F(f(t)= (t)*f(t) )()0()(1)( 第 4 傅里叶变换的性质 f(t)= 1/? 例例 f ( t )2- 2 0 f (t) F (第 4 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分若 f (t) F( 则 (jt)n f (t) F(n)( d)()(1)()0( d)(21)0( f (t) = t(t) F (? 例 d)s i n ( 九、帕斯瓦尔关系 d)(2 1d)( 22 傅里叶变换的性质例试求信号的能量。 s 97c o s (2第 4 傅里叶变换的性质十、奇偶性 (若 f(t) 为实函数 , 则 tj d)s i n ()(d)c o s ()()( = R() + ) )()(|)(| 22 )()(a r c t a n)( R()= R() , X() = X () |F( = |F( , () = () 若 f(t)为实偶 ,则 X() = 0, F(= R() 若 f(t)为实奇 ,则 R() = 0, F(= ) 第 4 周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12() 由频移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+ 0 ) 0t)= (e j 0 t + e j 0 t)

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