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2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§4.4　三角函数的最值与综合应用

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1、WtuWgifWtuWgif14.4 三角函数的最值与综合应用考纲解读浙江省五年高考统计来源:Zxxk.Com来源:学.科.网 Z.X.X.K 考点考纲内容来源:学,科,网来源:学,科,网要求 20132014201520162017三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.掌握6,5 分17,4 分11(文),3 分15, 约 3 分分析解读 1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计 2019 年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应引起高度重视.五年高考考点三角函数的最值与综合应用1.(2017 课标全国文,6,5 分)函数 f(x)= sin+cos的最大值为( )1

2、5( + 3)( 6)A.B.1C.D.6 53 51 5答案 A2.(2016 课标全国,12,5 分)已知函数 f(x)=sin(x+),x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)( 0,| 2) 4 4在上单调,则的最大值为( )( 18,5 36)A.11B.9C.7D.5答案 B3.(2017 课标全国文,13,5 分)函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 答案 5WtuWgifWtuWgif24.(2017 课标全国理,14,5 分)函数 f(x)=sin2x+cos x-的最大值是 . 33 4( 0, 2)答案 15.(2017 北京文,16,13 分)已知函数 f(x)=cos-2sin xcos x.3(2 3)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x时, f(x)- . 4, 41 2解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+ sin 2x-sin 2x323 2= sin 2x+cos 2x1 232=sin.(2 + 3)所以 f(x)的最小正周期 T=.2 2(

3、2)证明:因为- x , 4 4所以- 2x+ . 6 35 6所以 sinsin=- .(2 + 3)( 6)1 2所以当 x时, f(x)- . 4, 41 26.(2017 山东理,16,12 分)设函数 f(x)=sin+sin,其中 0 0, 2 11 时实验室需要降温.由(1)得 f(t)=10-2sin,( 12 + 3)WtuWgifWtuWgif7故有 10-2sin11,即 sin 0,| 0)的一段图象如图所示,ABC 顶点 A 与坐标原点 O 重合,B 是 f(x)的图象上一个最低点,C 在 x 轴上,若内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,且ABC 的面积 S 满足 12S=b2+c2-a2,将 f(x)的图象右移一个单位得到 g(x)的图象,则 g(x)的表达式为 ( )A.g(x)=cos xB.g(x)=-cos x1 21 2C.g(x)=sinD.g(x)=sin( 2+ 2)( 2 2)答案 D2.(2017 浙江杭州质检,9)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=5,+-=0,则 a+c=( )121252A

4、.6B.7C.8D.9答案 B二、填空题3.(2017 浙江金华十校调研,17)若函数 f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|(a,bR)的最大值为 11,则 a2+b2= . WtuWgifWtuWgif10答案 504.(2016 浙江镇海中学测试(五),15)要在一块圆心角为,半径为 1 的扇形纸片中截出一块矩形,则该矩形面积的最大值是 .2 3答案 33三、解答题5.(2018 浙江浙东北联盟期中,18)已知函数 f(x)=sin 2x-cos2x-m.32(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间;(2)当 x时,函数 f(x)的最大值为 0,求实数 m 的值.5 24,3 4解析 (1)f(x)=sin 2x-cos2x-m=sin 2x-m=sin-m- ,则函数 f(x)的最小正周期 T=.(4 分)32321 + 2 2(2 6)1 2由- +2k2x- +2k,kZ,得- +kx +k,kZ, 2 6 2 6 3故函数 f(x)的单调递增区间为,kZ.(7 分) 6+ ,3+ (2)因为 x,所以 2x- ,(9 分)5

5、24,3 4 6 4,4 3则当 2x- = ,即 x= 时,函数取得最大值 0,(12 分) 6 2 3即 1-m- =0,解得 m= .(14 分)1 21 26.(2018 浙江名校协作体期初,18)已知函数 f(x)=sin xcos x+cos2x(0)的最小正周期为 .(1)求的值;(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间上的1 2 4,0最值.解析 (1)f(x)=sin+ .(4 分)22(2 + 4)1 2T=,故 =1.(6 分)2 2WtuWgifWtuWgif11(2)根据题意知 g(x)=f(2x)=sin+ ,(8 分)22(4 + 4)1 2当 x时,4x+ ,(10 分) 4,0 43 4,4所以 g(x)min=g=;g(x)max=g(0)=1.(14 分)(3 16)1 227.(2017 浙江温州 2 月模拟,18)已知函数 f(x)=sin xcos x+cos 2x.3(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若- 0, 25 6 6 6(2 + 6)0 0,| 0 时,a+(1-a)=2-2=a(-1)a=-;2222 22 12当 a=1 时,f(x)=1,不合题意,舍去;当 1-a1 时,1a4+3;1 2, + (1 ) 2 2?2当 a1 时,-a1.1 2, + (1 ) 2 2?2综上可知,-a4+3.22

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