八年级数学上册 第三章 3.1 勾股定理的证明知识点与同步训练（含解析）（新版）苏科版

1、勾股定理的证明知识精讲一勾股定理1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么2勾股定理的变形：，二勾股定理的证明1如下图，所以2如下图，所以三点剖析一勾股定理逆定理1如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别二勾股数1满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数2常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41题模精讲题模一：证明例1.1.1 请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理【答案】 见解析【解析】 ABC、BMD、DHE、AGE是全等的四个直角三角形，四边形ABDE是正方形，四边形GHMC是正方形，大正方形的面积是，大正方形的面积也可以是：，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方例1.1.2 如图所示，P是ABC边AC上的动点，以

2、P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的O的面积为SO，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求的最小值；（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由【答案】 见解析【解析】 解法一：（1）据题意，a+h=-，ah=所求正方形与矩形的面积之比：=（1分）n2-4mk0，n24mk，由ah=知m，k同号，mk0 （2分）（说明：此处未得出mk0只扣（1分），不再影响下面评分）=4（3分）即正方形与矩形的面积之比不小于4（2）FED=90，DF为O的直径O的面积为：SO=()2=(EF2+DE2) （4分）矩形PDEF的面积：S矩形PDEF=EFDE面积之比：=(+)，设=f=(f+)=()2+()2-2-+2=(-)2+（6分）(-)20，(-)2+，=，即f=1时（EF=DE），的最小值为（7分）

3、（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形过B点过BMAQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e，BNFE，NFBE，BN=EF，BN=FP=e由BCMQ，得：BM=AG=hAQBC，PFBC，AQFP，FBPABQ （8分）（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）=，（9分）=，AQ=h （10分）AQ=（11分）线段AQ的长与m，n，k的取值有关（解题过程叙述基本清楚即可）解法二：（1）a，h为线段长，即a，h都大于0，ah0 （1分）（说明：此处未得出ah0只扣（1分），再不影响下面评分）（a-h）20，当a=h时等号成立故，（a-h）2=（a+h）2-4ah0（2分）（a+h）24ah，4（） （3分）这就证得4（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则O的直径为SO=()2（4分），S矩形PDEF=xy=-2（6分）4由（1）（*）-2(4-2)=的最小值是（7分）（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形EF=PF作AGBC，G为垂足AGBFEB，= （8分）AQBFPB，=，（9分）=而EF=PF，AG=AQ

4、=h，（10分）AG=h=，或者AG=h=（11分）线段AQ的长与m，n，k的取值有关（解题过程叙述基本清楚即可）题模二：勾股定理例1.2.1 如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边a，b，c的大小关系式（）A acbB abcC cabD cba【答案】C【解析】 AC=5=，BC=，AB=4=，bac，即cab故选C例1.2.2 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A 5B C 5或D 不确定【答案】C【解析】 本题考查勾股定理的使用此题要分两种情况进行讨论：当3和4为直角边时；当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可当3和4为直角边时，第三边长为当4为斜边时，第三边长为，故选C例1.2.3 在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A B C D 【答案】A【解析】 根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C作CDAB，交AB于点D，又S ABC=ACBC=ABCD，CD=，则点C到AB的距离是故选A例1.2.4 已知直角三角形的一直角边等于35cm

5、，另外两条边的和为49cm，求斜边长【答案】 斜边长为37cm【解析】 设直角三角形的斜边长为x cm，则另一直角边为cm，根据勾股定理可列方程：，解得随堂练习随练1.1 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB=90，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-aS四边形ADCB=S ACD+S ABC=b2+ab又S四边形ADCB=S ADB+S DCB=c2+a（b-a）b2+ab=c2+a（b-a）a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB=90求证：a2+b2=c2证明：连结_S五边形ACBED=_又S五边形ACBED=_a2+b2=c2【答案】 （1）BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a（2）S ACB+S ABE+S ADE=ab+b2+ab，（3）S ACB

6、+S ABD+S BDE=ab+c2+a（b-a）（4）ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a）【解析】 证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，S五边形ACBED=S ACB+S ABE+S ADE=ab+b2+ab，又S五边形ACBED=S ACB+S ABD+S BDE=ab+c2+a（b-a），ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），a2+b2=c2随练1.2 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，ABC的三个顶点均在格点上，则ABC的周长为=_，面积为_【答案】 ；36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算由勾股定理得：，1. ，2. 所以ABC的周长为，随练1.3 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）A 10B C 10或D 10或【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理（1）当6和8是直角边时，斜边；（2）当8是斜边时，另一直角边；故选C随练1.4 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（ ）A 10B C 10或D 10或【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理（1）当6和8是直角边时，斜边；（2）当8是斜边

7、时，另一直角边；故选C随练1.5 设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是_A 1.5B 2C 2.5D 3【答案】D【解析】 本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值三角形的周长为6，斜边长为2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的两条直角边，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故选D随练1.6 已知在RtABC中，如果，求a、b的值【答案】 ，【解析】 中，可设，则，解得，课后作业作业1 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草A 5B 4C 3D 2【答案】B【解析】 该题考查的是勾股定理根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，可得斜边长为，因此少走的路为所以本题的答案是B作业2 如图，点E在正方形ABCD内，满足，则阴影部分的面积是（ ）A 48B 60C 76D 80【答案】C【解析】 故选C作业3 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm【答案】 4.8【解析】 直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为68=10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm作业4 如图，已知在RtABC中，ACB=90，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于_【答案】 2 【解析】 S1=（）2=AC2，S2=BC2，所以S1+S2=（AC2+BC2）=AB2=2故答案为：2作业5 学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：_，你的理由是_【答案】 不正确；若4为直角

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