信号与线性系统题解 阎鸿森 第四章
49页1、信号与线性系统题解信号与线性系统题解 阎鸿森阎鸿森 第四章第四章 习题答案习题答案4.1 由于复指数函数是 LTI 系统的特征函数,因此傅里叶分析法在连续时间 LTI 系统分析 中具有重要价值。在正文已经指出:尽管某些 LTI 系统可能有另外的特征函数,但复 指数函数是唯一能够成为一切 LTI 系统特征函数的信号。在本题中,我们将验证这一 结论。(a) 对单位冲激响应的 LTI 系统,指出其特征函数,并确定相应的特征值。( )( )h tt(b) 如果一个 LTI 系统的单位冲激响应为,找出一个信号,该信号不( )()h ttT具有的形式,但却是该系统的特征函数,且特征值为 1。再找出另外两个特征ste函数,它们的特征值分别为 1/2 和 2,但不是复指数函数。提示:可以找出满足这些要求的冲激串。(c) 如果一个稳定的 LTI 系统的冲激响应是实、偶函数,证明和实( )h tcostsint该系统的特征函数。(d) 对冲激响应为的 LTI 系统,假如是它的特征函数,其特征值为,( )( )h tu t( ) t确定应满足的微分方程,并解出。( ) t( ) t此题各部分的结果就验证了正
2、文中指出的结论。解:(a) 的 LTI 系统是恒等系统,所以任何函数都是它的特征函数,其特征Q( )( )h tt值 为 1。(b) ,。如果是系统的特征函数,且特征值Q( )()h ttT( )()x tx tT( )x t为 1,则应有。满足这一要求的冲激序列为。( )()x tx tT( )()kx ttkT若要找出特征值为 1/2 或 2 的这种特征函数,则可得:, 特征值为 1/2。1( )( )()2kkx ttkT, 特征值为 2。( )2()kkx ttkT(c) 1cos()2j tj ttee ()()1( )( )( )( )2 11( )( )22jtjtj tjj tjy th tx theedehedehed 为实、偶函数Q( )h t( )( )jjhedhed 1( )()( )cos()2j tj tjy teehedt H j gg同理可证。sint(d) Q( )( )h tu t ( )( )( )y tx t dty tty tt于是 ( )t tce4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。(a) ( )cos4cos6x ttt(b) 是以 2
3、 为周期的信号,且( )x t( ),11tx tet (c) 如图 P4.2(a)所示。 (d) 如图 P4.2(b)所示。( )x t( )x t(e) 如图 P4.2(c)所示。 (f) 如图 P4.2(d)所示。( )x t( )x t图 P4.2解:(a) ,取,则有44661111cos4sin62222j tj tj tj ttteeeejj022233111;0 (2,3)222kaaaaakjj (b) , 则02,T(1)1(1)111( 1)1()22(1)2(1)jkk tjk tjk kae edteeejkjke 2( 1) (1)( )2 (1)k jk tkex teejk (c) ,是奇函数,2T ( )x tQ00a111 11111111( 1)|, (0)22( 1)( 1)( )k jk tjk tjk t kkk jk tjk tkkjateteekjkjkkjjx teekk (d) ,可求得06,/3T 1233 211233 213 011 66 112|sinsin, (0)2226( )()0;jktjktkjktjktjktk k
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