考研数学必背的问题

1、考研数学必背的内容考研数学必背的内容考研数学要得高分必须拿出百分之考研数学要得高分必须拿出百分之 6060 的精力背下列内容，百的精力背下列内容，百分之分之 4040 的精力做题理解的精力做题理解考研者的明智选择，到达成功的最佳捷考研者的明智选择，到达成功的最佳捷径径函数函数极限极限连续（连续（）1Ch8 18定义域值域sin x,-1,1cosx,-1,1tan x2 kx,cot xkx ,arcsin x-1,1 2,2arccosx-1,1, 0arctan x, 2,2cotarcx, 0如以为周期，则( )f xT 2 02Ta nTTTaf x dxnf x dxnf x dx(偶)奇，(奇)偶；偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；奇奇奇（不等） ，偶偶偶，奇偶不定 奇奇偶， 偶偶偶，奇偶奇（偶0） 1 分段函数： 注： 与， 分段点； ；01( )f x2( )nf x( )0f x 02 1 0sgn0 01 0f xf xf xf x ， 分段点 ；03 max( ), ( )2f xg xf xg xf x g x( )( )f xg x，分段点

2、 ； 2)(),(minxgxfxgxfxgxf( )( )f xg x整数的点 04 ( )f x( )f x 05 函数的极限问题， 101 lim11 01xxa aa a 1001 lim11 1xxa aa a 2、存在 ，为任何以为极限的数列0lim xx f xAlimn Axfnnx0x0()nxx3、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小的乘积是无穷小（2）等价定理如果 x则lim x Wlim x W（3）无穷小与极限的关系 lim xf xAf xAx WW4、常用的等价无穷小当时 0u sinuutanuuarcsinuuarctanuu2 1 cos2uuln(1) uu1ueu1lnuaua(1)1uu注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下 （2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果是的阶无穷小 是的阶无穷小 ( )g xxam( )f uun则是的阶无穷小 ( )f g xxanm（4）一般地，如果是的阶无穷小，则是的阶无穷小，是( )f xxa(1)k k ( )fxxa1

3、k dttfxa的阶无穷小；反之，如是的阶无穷小，推不出是的阶的xa1k ( )fxxak( )f xxa(1)k 结论。 0x 31x 极限运算法则及存在条件如果与存在，则lim( )f xlim ( )g xlim( )( )lim( )lim ( )f xg xf xg xlim( ) ( )lim( )lim ( )f x g xf xg x( )lim( )lim( )lim ( )f xf x g xg x(lim ( )0)g x 注：1、条件的存在性 2、1 0110 1 01100limmm mm nnxnnnm a xa xaxaanmb xb xbxbbnm 3、 001limsin00kxkxxk不存在5、双边夹法则如果满足且，则,nnnXY ZnnnXYZlimlimnnXZAlimnYA对于函数，如果且( ), ( ), ( )f x g x h x( )( )( )f xg xh xlim( )lim ( )f xh xA则lim ( )g xA6、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2） limlnlimxg xf xg xxf

4、xeWW7、运算性质 （1）如果都在处连续，则( )( )f xg x、0x1也连续； 2； 3也连续 xgxf xgxf 00f xg xg x（2）如果函数在区间上单调且连续，则其反函数也在相应区间( )yf xxI yx上单调且连续 yxIy yf xxI（3）设函数，当时，极限存在且等于，即，而函数在连续， xu0xx a 0lim xxx a ufy au 则复合函数当时的极限也存在，且等于，即 xfy0xx af 0lim xxfxf a （4）设函数在点连续且而在点连续，则 xu0xx 00ux ufy 0u在点也连续。 xfy0xx（5）初等函数在其定义域内都连续如为初等函数，为其定义域内一点， 则( )f x0x0lim xx 0f xf x（6）如在上连续，则，在内连续 f xg x、( , )a b f x xgxf ,min xg ,maxxf( , )a bch2ch2导数与微分导数与微分(6 10)1、导数的几何意义：表示在点切线斜率0()fx( )yf x00(,)xy（1）切线方程000()()yyfxxx（2）法线方程： 000 010yyxxfxfx

5、 000xxfx2、高阶导数： (1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式： nxxee lnnnxxaaa sinsin2nnxx coscos2nnxx 11!1nnnn xaxa 111 !lnn nnnxa xa lnWWW导数的运算法则1、设, 都可导，则（1）； （2） f x g x xgxfxgxf；（3） xgxfxgxfxgxf xgxgxfxgxf xgxf2 2、反函数的导数：设是的反函数，且单调可导，则也单调可导，且 yf x xg y yf x xg y1y xxy 3y xyx y 3、复合函数的导数：如果在点可导，而在可导，则复合函数在点 xux ufy xu xfy可导，且其导函数为xdxdu dudy dxdy4、常见公式： 0c 1xxsincosxxcossinxx xxee lnxxaaa1ln xx1loglnx axa2tansecxx2cotcscxx secsectanxxxcsccsccotxxx 21arcsin 1x x 21arccos 1x x 21arctan1xx21cot1arcxx !,kkxk5、由参数方程所确定函数

6、的导数： ， ， xx tyy tttydy dxx22 tdytd ydx dxxch3.ch3. 中值定理与导数应用（中值定理与导数应用（15151818） 1. 常见的泰勒展开式 23 112!3!1 !n xnxxxeexxnn L35 2121sin2sin3!5!21 !nn xxxxxnL 24 2coscos12!4!2!nnxxxxn L 211111112! 1211 !nnnnxxxxn nxn LLL 231111ln 1112311nnnnnxxxxxxnn L0x基本定理1、单调性的判定定理：设函数在上连续在内可导( )yf x , a b( , )a b（1）如果在内， 则在上单调增加( , )a b( )0fx ( )f x , a b（2）如果在内，则在上单调减少( , )a b( )0fx ( )f x , a b2、极值存在的必要条件：函数在点处可导，且在处取得极值，则( )f x0x0x 0()0fx3、第一充分条件：设在点的一个邻域内可导且( )f x0x 0()0fx（1）如果当时；当时则在处取得极大值0xx( )0fx 0xx( )0fx

7、( )f x0x（2）如果当时，当时，则在处取得极小值0xx( )0fx 0xx( )0fx ( )f x0x（3）如果在两侧，符号不变，则在处不取极值( )f x0x( )fx( )f x0x注：不存在的点或不易求的点常用此定理( )fx( )fx4、第二充分条件：设在处具有二阶导数，且则（1）当( )f x0x0()0fx0()0fx时，取极大值；（2）当时，取极小值。0()0fx( )f x0()0fx( )f x注：1 驻点2 二阶导函数易求5、函数凹凸性的判定定理：在上连续，在内具有二阶导数( )f x , a b( , )a b（1）若，则在上是凹的( )0fx( )f x , a b（2）若，则在上是凸的( )0fx( )f x , a b6、曲率的计算公式：2321yyk ch4 不定积分（48） 1、公式cxdxx1 11 cedxexx lnx xaa dxcacxxdxcossincxxdxsincoscxxdxcoslntancxxdxsinlncot cxdx xarcsin 112 cxdx xarccos 112cxdxxarctan112cxxxdxtanseclnseccxxxdxcotcsclncsccxdxxcotsin12cxdxxtancos122、性质（1） （2）dxxfkdxxkf)()( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx3、换元积分法（1）第一换元（凑微分）cxgFdxxgxghdxxf)()()()(注 1、 )()(1)(baxdbaxfadxbaxf2、 )()(1)(1baxdbaxfandxxbaxfnnnn3、 )()(1)(baedbaefadxebaefxxxx4、 5、xdxfdxxxfln)(ln1)(lnxdx

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