【优品课件】北师大版高中数学(必修5)1.4《数列在日常经济生活中的应用》 课件之三
65页1、一、数列应用问题的常见模型(1)_;一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是:an1and(常数)(2)_:一般地,如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时,该模型是等比模型(3)_:在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型,(4)_:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时,我们称该模型为生长模型如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等(5)_:如果容易找到该数列任意一项an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题,友情提示:一般涉及递增率什么的,用到_;涉及依次增加或者减少什么的,用到_,或者有的问题是通过转化得到_的,在解决问题时要往这些方面去联系,二、与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和_.(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和_.(3)产值模型原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于
2、时间x的总产值_.,(4)分期付款模型a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则_.,三、数列综合应用题的解题步骤(1)_弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题(2)_把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等(3)_分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答,(4)_将所求结果还原到实际问题中具体解题步骤如下框图:,1.零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利注:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,而本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息本金利率存期,本利和本金(1存期利率)零存整取是等差数列求和在经济方面的应用,例李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始,每个月的1号都存入100元,存期三年(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.问到期时,李先生一次可支取本息多少元?(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月
3、利率是1.725.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?(注:零存整取要收20%的利息税),2定期自动转存模型银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和注:复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的复利的计算公式为:本利和本金(1利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用,例已知本金m1200元,复利率i7%,期数n4,求本利和总额S4.解析:S41200(17%)41572.96(元),3分期付款模型采用分期付款的方法,购买售价为a元的商品(或贷款a元),每期付款数相同,购买后1个月(或1年)付款1次,过1个月(或1年)再付1次,如此下去,到第n次付款后全部付清如果月利率(或年利率)为b,那么每期付款x元满足下列关系:按单利计息时为a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b;按复利计息时为a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1化简得x(1b)n1ab(1b)n.,例某职工年初向银行贷款2万元
4、用于购房,银行为了推动住房制度改革,低息贷款年利率为2%,按复利计息(即本年的利息计入次年的本金生息)若这次贷款要求分10次等额还清,每年一次,从贷款次年年初开始还,问每年应还多少元?(精确到元),解析:设每年还款x元,第n年还款后余额为Mn.依题意得:M120000(12%)x,M2M1(12%)x20000(12%)2x(12%)x,M3M2(12%)x20000(12%)3x(12%)2x(12%)x,M1020000(12%)10x(12%)9x(12%)8x(12%)x.,4怎样处理数列的应用问题数列应用问题的学习已成为高中数学学习与研究的一个重要内容,现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度、堆积物品总数等实际问题,都需要用数列的知识加以解决解答数列应用问题的核心是建立模型,其基本步骤如下表,(1)等差数列的实际应用在数列应用题中,若an1与an的关系满足an1and(d为常数)时,则可以应用等差数列模型解决说明:要通过对题意的分析,说明数列为等差数列,然后设出有关符号,如an,d等的意义,这样才能使阅卷者迅速了解你的解答思路,5模
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