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求二面角大小和线面角大小的“另类”方法——公式法

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卖家[上传人]：平***

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1、1求二面角大小和线面角大小的“另类”方法公式法山石求线面角及二面角大小的方法很多,下面介绍一种只需知道自一点的三条射线间的夹角,就能求线面角及二面角的大小的方法。一、求二面角大小问题定理 1 如图设自点 A 有三条射线, BAC= ,BAD= ,CAD= ,0 ,0 ,0 ,平面 CAD 与平面 BAD 所成的角为 . 求证: = cossinco证:作二面角 B-AD-C 平面角GEF,则GEF= 根据余弦定理= + -2GEEFcos , = + -2AGAFcos2GFE2 2GFA2得 + -2GEEFcos = + -2AGAFcos2A2GEEFcos =-2 +2AGAFcos , cos = + cos2EF2GA即 cos =-cot cot + cos , cos =sin1 sincoco应用 1：(2004 全国高考卷(II)第 20 题 ) 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90，AC=1，CB= ，侧棱 AA1=1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为2D，B 1C1 的中点为 M.（）求证 CD平面 BDM；（）求面 B1BD 与面 CB

2、D 所成二面角的大小.第二问中面 B1BD 与面 CBD 的交线为 BD 由题得CBD 为 ,CBB 1 为 ,DBB 1为由已知解得 = = = = =0450906cossinco3所求二面角的大小为 .3arcosBMA 1DCCAE DFBCG2应用 2： (2004 浙江(文科) 高考题)已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB= ,AF=1,M 是线段 EF 的中点 (1) 求证 AM平面 BDE,(2) 求证 AM平面 BDF(3)求二面角 A-DF-B 的大小.第三问中, 面 ADF 与面 DFB 的交线为 DF由题设BDF 为 ,BDA 为 ,FDA 为由已知解得sin = = sin = = =304536cossinco21 = 所求二面角的大小为。060运用公式法解二面角的大小的关键是：先找出两面的交线,再找出、和 .只要易求三角,就能求二面角的大小。二、求线面角大小问题定理 2 如图设自点 A 有三条射线, BAC= ,BAD= ,CAD= ,0 ,0 ,0 ,AB 和平面所成的角是 , 证: cos =sincos2cos2证:作二面角 C-AB-D 平面角EGF,则EGF= = 得 AGsin AFAEsin = AG GEGFsinAEFGV312312sin = , cos =sin sinsisi2又由定理 1 有 cos = sincoc整理得 cos =ics2os2应用(2004 全国高考卷()理科第 20 题 )三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABCDC BAFEMAE DFBCG3垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB BC ；（2）设 AB=BC= ，求 AC 与平面 PBC 所成角的大小.32第二问中：由题可设ACP= ,ACB= ,PCB= 由已知得:sin = , = ,sin = ,设 AC 与平面 PBC 所成角为 ,则304536cos = = = sincos2cos2 3622193 = 03

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