(几何概型)课件

1、几 何 概 型 问题 1 若A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则从A中任取出一个数 这个数不大于 3的概率是多少 2 若A 0 9 则从A中任意取出一 个数 这个数不大于3的概率是多少 它们的相同点和 不同点分别是什 么 怎样求问题2的 概率 创设情境 引入新课 0123456789 取一根长为9米的彩带 拉直后在任意位置剪 断 那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是 多少 问题1 问题情境 解 记 剪得两段彩带都不小于3m 为事件A 把彩带三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于绳子上各点被剪断是等可能的 且中间 一段的长度等于彩带的 某列岛周围海域面积约为17万平方公里 如果在此海域里有面积达0 1万平方公里的 大陆架蕴藏着石油 假设在这个海域里任意 选定一点钻探 则钻出石油的概率是多少 解 记 钻出石油 为事件A 则 问题2 有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用 一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水 中含有这个细菌的概率 问题3 解 记 小杯水中含有这个细菌 为事件A 事件A发生的概率 2 试验的概率是如何求得的 1 类比古典概型 说明以上三个试验有什么

2、共 同点 探究 借助几何图形的长度 面积 体积的比 值分析事件A发生的概率 试验中所有可能出现的基本事件有无限 多个 每个基本事件的发生都是等可能的 几何概型的定义 n如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何 概率模型 简称为几何概型 n几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 设D是一个可度量的区域 例如线段 平 面图形 立体图形等 每个基本事件可以视为 从区域D内随机地取一点 区域D内的每一点被 取到的机会都一样 随机事件A的发生可以视 为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点 这时 事件A发生的概率与d的测度 长度 面积 体积等 成正比 与d的形状与位置无 关 我们把满足这种条件的概率模型称为几何概 型 在几何概型中 事件A的概率计计算公式为为 理 解 定 义 数学理论 将古典概型中的有限性推广到无限性 而保留等 可能性 就得到几何概型 古典概型的本质特征 1 样本空间中样本点个数有限 2 每一个样本点都是等可能发生的 几何概

3、型的本质特征 3 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 1 有一个可度量的几何图形S 2 试验E看成在S中随机地投掷一点 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外 向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金 色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为 122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可 能的 那么射中黄心的概率为多少 解 记记 射中黄心 为为事件B 则则 答 射中黄心的概率为0 01 应用与试验 例1 取一个长为2a的正方形及其内切圆 随机 向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概 率 解 记 豆子落入圆内 为事件A 例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈 病的种子 从中取出10mL 含有麦锈病种子 的概率是多少 解 记 取出10mL麦种 其中含有病种子 为事件A 麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机 的 取得的10mL种子可视为区域d 所有种子可视为 区域D 则有 答 含有麦锈病种子的概率是 例3 在直角三角形ABC 其中 CAB 60 在斜边AB上任取一点M 那么AM小于AC的概 率有多大 AB C

4、 C M 在AB上截取AC AC 当点M位于线段AC 内 AM AC 故线段AC 即为区域d 于是 答 AM小于AC的概率为 由于点M随机地落在线段AB上 故可以认为点M落在线段AB上任一 点是等可能的 可将线段AB 看做区 域D 解 记 在斜边AB上任取一点 AM AC 为事件A C AB 练习 在上一题构造的直角三角形ABC的基础 上 过直角顶点C在 ACB内部任作一条射线 CM 与线段AB交于点M 那么这时AM AC的概 率有多大 C M 在AB上截取AC AC 则 ACC 60 答 这时AM小于AC的概率为 由于射线CM随机地落在 ACB 内部 故可以认为射线CM落在 ACB 内部任一位置都是等可能的 解 记 在 ACB内部任作一条射线CM 与线段AB交于点M AM AC 为事件A 例1 某人午觉醒来 发现表停了 他打开 收音机 想听电台整点报时 求他等待的 时间不多于10分钟的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间 段内 因此由几何概型的求概率的公式得 答 等待的时间不超过10分钟 的概率为 生活应用 练 已

5、知地铁列车每10min一班 在车站停 1min 求乘客到达站台立即能乘上车的概 率 012345678910 解 记 乘客到达站台立即能乘上车 为事件A 由于乘客随机地到达站台 故可以认为乘 客在10min内到达站台是等可能的 当乘客在地 铁停留的1min内到达站台时 可以立即乘上车 答 乘客到达站台能立即乘上车的概率是 例2 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早 上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲 离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 解 以横坐标X表示报纸送到时间 以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系 假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部 分 就表示父亲在离开家前能 得到报纸 即时间A发生 所以 练 两人约定在20 00到21 00之间相见 并且先到者必须 等迟到者40分钟方可离去 如果两人出发是各自独立的 在20 00至21 00各时刻相见的可能性是相等的 求两人在 约定时间内相见的概率 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟 即 小

6、时 设两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人在约 定时间范围内相见 当且仅当 x y 因此 转化成面积问题 利用几何概型求解 解 设两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人 能在约定时间范围内相见 当且仅当 两人到达约见地点所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中 的单位正方形内 包括边界 的点来表示 两人能在约定的时 间范围内相见的所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的 阴影部分 包括边界 来表示 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时 间范围内相遇的可能性的大小 因此所求的概率为 抛阶砖 是国外游乐场的典型游戏之一 参与 者只须将手上的 金币 设 金币 的半径为 r 抛向离身边若干距离的阶砖平面上 抛出的 金币 若恰好落在任何一个阶砖 边长为a的正方形 的范围内 不与阶砖相连的线重叠 便可获奖 课外拓展 抛阶砖游戏 玩抛阶砖游戏的人 一般需换购代用 金币 来参加游戏 那么要问 参加者获 奖的概率有多大 显然 金币 与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率 设阶砖每边长度为a 金币 直径为d a 若 金币 成功地落 在阶砖上 其圆心必 位于右图的绿色区域 A

7、内 问题化为 向平面区域S 面积为a2 随机投 点 金币 中心 求该点落在区域A内 的概率 a A S a a A 于是成功抛中阶砖的概率 由此可见 当d接近a p接近于0 而当d接近0 p接近于1 0 da 你还愿意玩这个游戏吗 a a A 成功抛中阶砖的概率 0 d a 据此 请你自行设计 不同难度的抛阶砖游 戏 若设r d a 则 p 1 r 2 1 10 r p 虚线部分不适于计算 抛阶砖游戏的概率 1 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为 P A 2 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 1 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示 则其概率的计算公式为 P A 2 面积比 是求几何概率的一种重要类型 也是在高考中 常考的题型 3 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示 则其概率的计算公式为 P A 生活中的几何概型常见的有人约会问题 船停码头 等车等问题 解决时要

8、注意 1 要注意实际问题中的可能性的判断 2 将实际问题转化为几何概型中的长度 角度 面积 体 积等常见几何概型的求解问题 构造出随机事件A对应 的几何图形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率 根据实际问题的具体情况 合理设置参数 建立适当的 坐标系 在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点 便可构造出度量区域 2009 山东高考 在区间 1 1 上随机取一个数x cos 的值介于0到 之间的概率为 解析 在区间 1 1 上随机取一个实数x cos 的 值位于 0 1 区间 若使cos 的值位于 0 区间 取 到的实数x应在区间 内 根据几何 概型的计算公式可知P 答案 A 1 在半径为1的圆周上任取两点 连结两点成一条弦 求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率 解 记A 弦长超过圆内接正三角形边长 如图 取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点 当另 一个端点E在劣弧 上时 BE BC 而 劣弧 长恰 为圆周长的 由几何概型的概率公式有P A 已知 x 2 y 2 点P的坐标为 x y 1 求当x y R时 P满足 x 2 2 y 2 2 4的概率 3 求当x y Z时

9、 P满足 x 2 2 y 2 2 4的概率 本题第 1 问为几何概型 可采用数形结合的 思想画出图形 然后利用几何概型的概率公式求 解 第 2 问为古典概型只需分别求出 x 2 y 2内的点以及 x 2 2 y 2 2 4的点的个 数即可 解 1 如图 点P所在的区域为 正方形ABCD的内部 含边界 满足 x 2 2 y 2 2 4的点的区域为以 2 2 为圆心 2为半径的圆面 含边界 所求的概率P1 2 满足x y Z 且 x 2 y 2的点 x y 有25个 满足x y Z 且 x 2 2 y 2 2 4的点 x y 有6个 所求的概率P2 2 例2的条件不变 求当x y R时 点P x y 满足x2 y2 4的概率 解 如图 当P所在的区域为正方形ABCD的内部 含边界 满足x2 y2 4的点的区域为以原点为圆心 2为半径的圆的外 部 含边界 故所求概率 两人约定在20 00到21 00之间相见 并且先到者 必须等迟到者40分钟方可离去 如果两人出发是各自独立 的 在20 00至21 00各时刻相见的可能性是相等的 求两 人在约定时间内相见的概率 两人不论谁先到都要等迟到者40分

10、钟 即 小时 设两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人在约 定时间范围内相见 当且仅当 x y 因此 转化成面积问题 利用几何概型求解 解 设两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人 能在约定时间范围内相见 当且仅当 两人到达约见地点所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中 的单位正方形内 包括边界 的点来表示 两人能在约定的时 间范围内相见的所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的 阴影部分 包括边界 来表示 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时 间范围内相遇的可能性的大小 因此所求的概率为 3 甲 乙两人约定上午7 00至8 00之间到某站乘公共汽 车 在这段时间内有3班公共汽车 它们开车时刻分别为 7 20 7 40 8 00 如果他们约定 见车就乘 求甲 乙同乘一车的概率 解 设甲到达汽车站的时刻为x 乙到达 汽车站的时刻为y 则7 x 8 7 y 8 即 甲乙两人到达汽车站的时刻 x y 所对 应的区域在平面直角坐标系中画出 如图所示 是大正方形 将三 班车到站的时刻在图形中画出 则甲乙两人要想同乘一班车 必须满足 即 x y 必须落在图形中的三个带阴

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