《画法几何与土木工程制图》(第3版)2.2_直线的投影

1、2 2直线的投影 直线的投影 直线上的点 直线的真长及其倾角 两直线间的相对位置 一边平行于投影面的直角投影规律 A B b a C D c d E F e f 直线的投影特性 一般来说 直线的投影仍然为直线 当直线垂直于投影面时 直线的投影则积聚为一点 直线对投影面的位置不同 直线可分为三类 一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线 直线与三个投影面均倾斜 直线平行于其中的一个投影面 倾斜于另外两个投影面 直线垂直于某一投影面 1 直线的投影 一般线的投影特性 一般位置线的任何一个投影 均不反映直线的真长 也不反映直线与投影面的倾角 一般位置线 直线所平行的投影面不同 投影面平行线又可分为 水平线 直线平行于H面 倾斜于V W面 正平线 直线平行于V面 倾斜于H W面 侧平线 直线平行于W面 倾斜于H V面 投影面平行线 水平线的投影特性 1 水平线的H投影反映真长 真长投影与OX夹角为 与OY轴的夹角为 0 2 水平线的V投影a b OX W投影a b OY 水平线 正平线的投影特性 1 正平线的V投影反映真长 真长投影与OX夹角为 与OZ轴的夹角为 0 2 正平线的H投影ab O

2、X W投影a b OZ 正平线 侧平线的投影特性 1 侧平线的W投影反映真长 真长投影与OY夹角为 与OZ轴的夹角为 0 2 侧平线的V投影a b OZ H投影ab OY 侧平线 按直线所垂直的投影面不同 投影面垂直线又可分为 铅垂线 直线垂直于H面 平行于V W面 正垂线 直线垂直于V面 平行于H W面 侧垂线 直线垂直于W面 平行于H V面 投影面垂直线 投影面垂直线 铅垂线投影特性 1 铅垂线的H投影积聚为一点 2 铅垂线的V W投影反映直线的真长 且平行于OZ轴 铅垂线 正垂线投影特性 1 正垂线的V投影积聚为一点 2 正垂线的H W投影反映直线的真长 且平行于OY轴 正垂线 侧垂线投影特性 1 侧垂线的W投影积聚为一点 2 侧垂线的V H投影反映直线的真长 且平行于OX轴 侧垂线 A B C a b E F D e d f 直线上点的投影特性 1 直线上点的投影必定位于直线的同面投影上 2 直线上的点分割直线为两段 则线段的空间之比等于它们的投影之比 即 ED DF ed df e d d f e d d f c 2 直线上的点 a b a b k k k a b X Z Y

3、H YW O K点在直线AB上 例题1 判定下题中 点K是否在直线AB上 X YH YW Z a b a b k k a b k K点不在直线AB上 O 例题2 判断点K是否在直线AB上 例题3 已知点C在线段AB上 求点C的正面投影 a b a b C c X O 例题4 试在直线AB上确定一点C 使AC CB 2 3 求C点的两面投影 直角三角形法 AB真长 AB真长 ZAB 量取 ZAB YAB 量取 YAB 3 一般线的实长与倾角 求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一 也是工程中经常遇到的问题 而用直解三角形法求解实长 倾角又最为方便 简捷 一 直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边 再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边 所作直角三角形的斜边即为线段的实长 斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面的夹角 二 直角三角形的四个要素 实长 投影长 坐标差及直线对投影面的倾角 已知四要素中的任意两个 便可确定另外两个 三 解题时 直角三角形画在任何位置 都不影响解题结果 但用哪个长度来作直角

4、边不能搞错 四 作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角 角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角例题1 一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解 在直角三角形中 一条直角边为直线的投影长 另一条直角边为直线的坐标差 则斜边即为该直线的真长 真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角 真长 TL 坐标差 Z Y X H V W投影长 直角三角形法 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角 角 zA zB 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 yA yB yA yB 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 ab 例题5 已知线段实长AB 且A点在B点前方 求它的水平投影 例题6 试在直线AB上其一点C 使AC 25mm 求点C的投影 a b a b X O ZAB ZAB C 在AB上量取AC 25mm c c 例题7 已知直线AB的V投影 且AB 40mm 求AB的H投影 量取 YAB R 40mm YAB a b a b 例题8 已知直线AB的V投影 且 30 求AB的H投影 a b a b YAB 量取 YAB 例题9 已知直线AB的V

5、投影 且 30 求AB的H投影 a b a b zAB 直线的H投影长 以直线的H投影长为半径 作圆弧 直线AB真长 两直线的相对位置 两直线交叉 两直线相交 两直线平行 4 两直线的相对位置 两直线平行的投影特性 两直线平行 则两直线的同面投影相互平行 即AB CD 则 ab cd a b c d a b c d 两直线平行 a b c d c a b d 对于一般位置直线 只要有两个同名投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD 例题10 判断图中两条直线是否平行 b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 求出侧面投影 例题11 判断图中两条直线是否平行 两直线相交的投影特性 两直线相交 则两直线的同面投影必定相交 且投影的交点符合点的投影规律 两直线相交 先作正面投影 例题12 过C点作水平线CD与AB相交 两直线交叉的投影特性 既不满足两直线平行的投影特性 也不满足两直线相交的投影特性 均属于两直线交叉 两直线交叉 1 2 3 4 投影特性 同名投影可能相交 但 交点 不

6、符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 是 面的重影点 是H面的重影点 为什么 两直线相交吗 交叉两直线的投影特性 交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题13 判断两直线的相对位置 方法一 两直线交叉 例题14 判断两直线的相对位置 方法二 1 1 d 1 c 两直线交叉 例题15 作直线KL与AB CD相交 且平行于EF直线 k l l k 作k l e f 作kl ef 例题16 已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影 求作直线CD 使其与直线AB相交且与H面成30 夹角 ZCD CD水平投影长 CD真长 以CD水平投影长为半径作弧 d 有两解 d 直角投影规律 空间两直线互相垂直 当其中一条直线为投影面的平行线时 则在该直线所平行的投影面内 两直线的投影反映直角关系 5 一边平行于投影面的直角投影 直角投影定理 一 垂直相交的两直线的投影定理一垂直相交的两直线 其中有一条直线平行于投影面时 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角 定理二相交两直线在同一投影面上的投影反映直角 且有一条直线平行于该投影面 则空间两直线的夹角必是直

7、角 二 交叉垂直的两直线的投影定理三相互垂直的两直线 其中有一条直线平行于投影面时 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角 定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角 且有一条直线平行于该投影面 则空间两直线的夹角必是直角 两直线交叉垂直 注意 距离直线只有平行于投影面时才能反映实长 举例 求作点到直线的距离 例题17 求点K到直线AB的距离 例题18 已知直角三角形ABC 其一直角边BC在EF线上 长30mm 试完成三角形ABC的投影 e f e f a a b b c c 量取bc 30mm 例题19 求两直线AB CD之间的距离 n m m 两交叉线间距离 例题20 过点E作线段AB CD公垂线EF 两平行直线的距离 投影面垂直线 投影面平行线 两平行直线的距离 e 例题21 求直线AB和CD间的最短距离 空间两直线互相垂直 若其中有一条直线平行于某投影面 则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 f e 分析 因为AB H EF AB 所以EF H 又因为EF CD EF H所以ef cd 因为EF H 所以e f OX EF AB EF CD 例题22 作三角形ABC ABC为直角

8、使BC在MN上 且BC AB 2 3 d 有ab bc 分析 空间两直线互相垂直 若其中有一条直线平行于某投影面 则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 因为AB BC 且AB H 根据直角投影定理 例题23 已知长方形ABCD中BC边的两投影和AB边的面投影 a b OX 求作长方形的两投影 例题24 已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上 试完成该正方形的正面 侧面投影 a f e e f a b c d b d c o o XAO XAO 半对角线长 f0 例题25 已知菱形ABCD的对角线AB的两投影 另一对角线CD长为2L 且知其正面投影的方向 求作菱形的两投影 e f ZFE 分析 因为AB CD 且AB H所以ab cd 于是CD成为过E点且已知方向的直线 在CD线上取点C和D 使EC ED L 求投影c d 本章小结 直线的投影特性 尤其是特殊位置直线的投影特性 直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性 定比定理 直角定理 即两直线垂直时的投影特性 重点掌握 一 各种位置直线的投影特性 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角 另两个投影平行于相应的投影轴 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴 二 直线上的点 点的投影在直线的同名投影上 点分线段成定比 点的投影必分线段的投影成定比 定比定理 三 两直线的相对位置 平行 同名投影互相平行 相交 同名投影相交 交点是两直线的共有 且符合空间一个点的投影规律 交叉 异面 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上一对重影点的投影 四 相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线中有一条平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线均为一般位置直线时 在三个投影面上的投影都不反映直角 直角定理 知识回顾KnowledgeReview

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