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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲圆与圆的方程

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1、第 2 讲圆与圆的方程一、选择题1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是( )Ax2(y2)21 Bx2(y2)21来 XKC(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析设圆的圆心 C(0，b)，则1，0122b2b2.圆的标准方程是 x2(y2)21.答案 A2若直线 3xya0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 a 的值为 ( )A1 B1 C3 D3解析化圆为标准形式(x1)2(y2)25，圆心为(1,2)直线过圆心，3(1)2a0，a1.答案 B3设圆的方程是 x2y22ax2y(a1)20，若 00，所以原点在圆外答案 B4 若圆 x2y22x6y5a0，关于直线 yx2b 成轴对称图形，则 ab的取值范围是( )A(，4) B(，0)C(4，) D(4，)解析将圆的方程变形为(x1)2(y3)2105a，可知，圆心为(1，3)，且 105a0，a2，由于圆关于直线 yx2b 对称，圆心在直线yx2b 上，即312b，b2，ab4.答案 A5 已知圆心在 x 轴上，半径为的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 xy0 相5切，则圆 O 的方程

2、是( )A(x)2y25 B(x)2y25105C(x)2y25 Dx2(y)251010解析设圆心为(a,0)(a0)，则，|a|25a，圆 O 的方程为(x)2y25，故选 C.1010答案 C6圆心为 C的圆与直线 l：x2y30 交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，(12，3)且满足0，则圆 C 的方程为( )OPOQA.2(y3)2 B.2(y3)2(x12)52(x12)52C.2(y3)2D.2(y3)2(x12)254(x12)254解析圆心为 C，(12，3)设圆的方程为2(y3)2r2，(x12)在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的即2(y3)2，故选 C.(x12)254答案 C二、填空题7以 A(1,3)和 B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为_解析由中点坐标公式得 AB 的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为，故圆的标准方程为(x2)43221222(y4)22.答案 (x2)2(y4)228 已知 x，y 满足 x2y21，则的最小值为_y2x1解析表示圆上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率，所

3、以，的最小值y2x1y2x1是直线 PQ 与圆相切时的斜率设直线 PQ 的方程为 y2k(x1)即kxy2k0，由1 得 k ，结合图形可知，，最小值为 .|2k|k2134y2x13434答案 349圆心在原点且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程为_解析如图，因为圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分，所以AOB120.而圆心到直线 3x4y150 的距离 d3，在AOB 中，可求得 OA6.所以所153242求圆的方程为 x2y236.答案 x2y23610已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(1,0)，B(1,0)，点 P 是圆上的动点，则 d|PA|2|PB|2的最大值为_，最小值为_解析设点 P(x0，y0)，则 d(x01)2y (x01)2y 2(x y )2，欲求2 02 02 02 0d 的最值，只需求 ux y 的最值，即求圆 C 上的点到原点的距离平方的最2 02 0值圆 C 上的点到原点的距离的最大值为 6，最小值为 4，故 d 的最大值为 74，最小值为 34.答案 74 34三、解答题11已知点 A(3,0)，B(3

4、,0)，动点 P 满足|PA|2|PB|.(1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；(2)若点 Q 在直线 l1：xy30 上，直线 l2经过点 Q且与曲线 C 只有一个公共点 M，求|QM|的最小值解 (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则2.x32y2x32y2化简可得(x5)2y216，此即为所求(2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心，4 为半径的圆，如图，由直线 l2是此圆的切线，连接 CQ，则|QM|，|CQ|2|CM|2|CQ|216当 CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4，|53|22此时|QM|的最小值为4.321612已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4.10(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程解 (1)直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1,2)，直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30.(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30.又直径|CD|4，|PA|2，1010(a1)2b240，由解得Error!或Err

5、or!圆心 P(3,6)或 P(5，2)，圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240.13已知圆 M 过两点 C(1，1)，D(1,1)，且圆心 M 在 xy20 上(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值解 (1)设圆 M 的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得：Error!解得 ab1，r2，故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形 PAMB 的面积SSPAMSPBM |AM|PA| |BM|PB|，1212又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以 S2|PA|，而|PA|，|PM|2|AM|2|PM|24即 S2.|PM|24因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，|3 14 18|3242所以四边形 PAMB 面积的最小值为S222.|PM| 2min4324514已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求的最小值PQMQ解 (1)设圆心 C(a，b)，则Error!解得Error!则圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x，y)，则 x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)PQMQx2y2xy4xy2，令 xcos ，ysin ，22xy2(sin cos )2PQMQ22sin2，(4)所以的最小值为4. PQMQ

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