专题07 一元二次方程及其应用的核心知识点精讲（解析版）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用）

1、 专题07一元二次方程及其应用的核心知识点精讲1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等；3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性【题型1：一元二次方程的解法】【典例1】（2023广州）解方程：x26x+50【答案】见试题解答内容【解答】解：分解因式得：（x1）（x5）0，x10，x50，x11，x251（2023赤峰）用配方法解方程x24x10时，配方后正确的是（）A（x+2）23B（x+2）217C（x2）25D（x2）217【答案】C【解答】解：x24x10，x24x1，x24x+41+4，（x2）25故选：C2（2023齐齐哈尔）解方程：x23x+20【答案】见试题解答内容【解答】解：x23x+20，（x1）（x2）0，x10或x20，x11，x22【题型2：一元二次方程的判别式及应用】【典例2】（2023荆州）已知关于x的一元二次方程kx2（2k+4）x+k60有两个不相等

2、的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k1时，用配方法解方程【答案】（1）k且k0；（2）x13+，x23【解答】解：（1）关于x的一元二次方程kx2（2k+4）x+k60有两个不相等的实数根，（2k+4）24k（k6）0，且k0，解得：k且k0；（2）当k1时，原方程为x2（21+4）x+160，即x26x50，移项得：x26x5，配方得：x26x+95+9，即（x3）214，直接开平方得：x3解得：x13+，x231（2023滨州）一元二次方程x2+3x20根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不能判定【答案】A【解答】解：由题意得，3241（2）170，方程有两个不相等的实数根故选：A2（2023聊城）若一元二次方程mx2+2x+10有实数解，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1且m0Dm1且m0【答案】D【解答】解：一元二次方程mx2+2x+10有实数解，224m0，且m0，解得：m1且m0，故选：D3（2023泰安）已知关于x的一元二次方程x24xa0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a4【答案】a4【解答】解：根据题意得（4）241（

3、a）0，解得a4故答案为：a4【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】【典例3】（2023内江）已知a、b是方程x2+3x40的两根，则a2+4a+b32【答案】2【解答】解：a是方程x2+3x40的根，a2+3a40，a23a+4，a，b是方程x2+3x40的两根，a+b3，a2+4a+b33a+4+4a+b3a+b+13+12故答案为：21（2023随州）已知关于x的一元二次方程x23x+10的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2x1x2的值为 2【答案】2【解答】解：关于x的一元二次方程x23x+10的两个实数根分别为x1和x2，x1+x23，x1x21，x1+x2x1x2312故答案为：22（2023西藏）已知一元二次方程x23x+20的两个根为x1、x2，则的值为（）A3BC1D【答案】D【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x23，x1x22，故选：D【题型4：一元二次方程的应用】【典例3】（2022眉山）建设美丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同（1）求该市改造老旧小区投

4、入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20%；（2）18个【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）21440，解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去）答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80（1+15%）y1440（1+20%），解得：y，又y为整数，y的最大值为18答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区1（2022黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A8B10C7D9【答案】B【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x10或x9（舍），共有10支队伍参加比赛故选：B2（2023大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍已知2020年该学校

5、用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求20202022年买书资金的平均增长率【答案】见试题解答内容【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，则：5000（1+x）27200，解得：x0.2，或x2.2（舍去），答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%3（2022泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：（502x）（382x）1260，解得：x4或40，40不合题意，舍去，所以x4，答：道路的宽应为4米1（2024鞍山模拟）方程3x24x10的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A3，1，4B3，4，1C3，4，1D3，1，4【答案】C【解答】解：3x24x10，二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，4，1，故选：C2（2023秋西城区校级期中）用配方法解方程x2+2x30，下列变形正确的是（）A（x+1）22B（x+1）22C（x+1）

6、24D（x+1）24【答案】D【解答】解：方程移项得：x2+2x3，配方得：x2+2x+14，即（x+1）24故选：D3（2023铜梁区校级一模）某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A3（1+x）10.82 B3（1+x）210.82C3（1+x）+3（1+x）210.82 D3+3（1+x）+3（1+x）210.82【答案】D【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为3+3（1+x）+3（1+x）210.82，故选：D4（2023秋南海区期中）一元二次方程x22x50的根的情况是（）A有两个相等的实数根 B没有实数根C有两个不相等的实数根 D无法确定【答案】C【解答】解：（2）24（5）240，方程有两个不相等的实数根故选：C5（2023秋武侯区校级期中）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度

7、相等的人行通道，求人行通道的宽度若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（）A（403x）（252x）200 B（404x）（252x）600C402580x100x+8x2200 D402580x100x600【答案】B【解答】解：人行通道的宽度为x m，每个展位的长为（252x）m，宽为m依题意得：（252x）200，即（404x）（252x）600故选：B6（2023秋长安区期中）若关于x的一元二次方程x2xm0的一个根是x3，则m的值是（）A6B3C3D6【答案】D【解答】解：由题意得：把x3代入方程x2xm0中得：323m0，解得：m6，故选：D7（2023秋金坛区期中）已知x1，x2是方程x2x20230的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（）A2022B2022C2024D2024【答案】B【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x21，x1x22023，所x1+x2+x1x2（x1+x2）+x1x2120232022故答案为：B8（2023秋新洲区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（）支小分支A7B8C9D10【答案】B【解答】解：由题意得：1+x+x273，即x2+x720，（x+9）（x8）0，解得x18，x29（舍去）答：每个支干长出8个小分支故选：B9（2023秋海淀区校级期中）若x3是关于x的方程ax2bx6的解，则20236a+2b的值为（）A2019B2020C2021D2022【答案】A【解答】解：把x3代入方程，得：9a3b6，即：3ab2，20236a+2b20232（3ab）2023222019；故选：A10（2024鞍山模拟）若x1，x2是一元二次方程x2+5x10的两个实数根，则x1+x2的值为 5【答案】5【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+5x10的两个实数根，x1+x25故答案为：511（2023秋罗定市期中）已知m是方程x22x20240的一个根，则m22m的值为 2024【答案】202

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