一次函数的应用（讲义）（解析版）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

1、第11讲 一次函数的应用目 录第 1 页 共 64 页一、考情分析二、知识建构第 1 页 共 54 页原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型01 分配问题题型02 最大利润问题题型03 行程问题题型04 几何问题题型05 工程问题题型06 分段计费问题题型07 体积问题题型08 调运问题题型09 计时问题题型10 现实生活相关问题考点要求新课标要求命题预测一次函数的应用 能用一次函数解决实际问题一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键.一次函数的实际应用：1）一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型求出一次函数解析式结合函数解析式、函数性质作出解答；利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。2）建立函数模型解决实际

2、问题的一般步骤：审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；利用函数的性质解决问题；写出答案。3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：观察图象，获取有效信息；对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值题型01 分配问题【例1】（2023陕西咸阳校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数

3、的笔记本按原价收费；钢笔和笔记本均按定价的八折收费已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元某顾客准备购买x支钢笔和笔记本x+10本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式： ， ；(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠【答案】(1)y1=15x+40,y2=15.2x+32，(2)选择方案更为优惠，见解析【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可【详解】（1）解：由题意，得：y1=15x+4x+10x=15x+40，y2=15x+4x+1080%=15.2x+32；（2）当x=10时，y1=1510+40=190；y2=15.210+32=184190184，选择方案更为优惠【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键【变式1-1】（2023陕西西安校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报

4、价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家【答案】(1)甲旅行社：y=2000x0.8=1600x；乙旅行社：y=1700x0x20y=1400x+6000x20(2)甲旅行社【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题【详解】（1）解：由题意可得，甲旅行社：y=2000x0.8=1600x；当0x20时，y=2000x0.85=1700x，当x20时，y=2000200.85+x2020000.7=1400x+6000，故乙

5、旅行社：y=1700x0x20y=1400x+6000x20（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，则甲旅行社：y=160025=40000；因为2520所以把x=25代入y=1400x+6000中，则乙旅行社：y=140025+6000=41000；因为4100040000，所以选择甲旅行社【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答【变式1-2】（2022陕西西安统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：规格线下线上单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A240021020B300025030(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系式；(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱【答案】(1)y=50x+5600(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元【分

6、析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20x) 个，根据表中的单价及运费列出函数关系式即可；（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解【详解】（1）由题意得y=210x+250(20x)+20x+30(20x) 整理得y=50x+5600（2）由题意得20x2x 解得x203 500 y随x的增大而减小 当x=6时，y最小为300+5600=5300 线下购买时的花费为2406+30014=5640此时，购买B种书架20-6=14个线上比线下节约5640-5300=340元所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题的关键【变式1-3】（2021贵州六盘水统考二模）某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景：(1)请计算出A，B两种物品的单价；(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的

7、数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得2x+y=753x+2y=120，即可解得答案；（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m623，W30m+15（20m）15m+300，根据一次函数性质即可得答案【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，根据题意得：2x+y=753x+2y=120，解得x=30y=15，答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20m）个，共需W元，A物品的数量不少于B物品数量的一半，m20m2，解得m623，而W30m+15（20m）15m+300，150，W随m的增大而增大，m623，m是整数，m7时，W最小，最小为157+300405，A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等

8、量关系列方程组和函数关系式题型02 最大利润问题【例2】（2023云南德宏统考一模）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本（万元/套）2528售价（万元/套）3034(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)有11种建房方案(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建立不等式组可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建80x套， 25x+2880x209025x+2880x2122， 解得，3913x50， x取非负整数， x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， 有11种建房方案（2）设该公司建房获得利润W万元， 由题意知：W=3025x+342880x=x+480， k=1，W随x的增大而减小， 当x=40时，即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答【变式2-1】（2022陕西西安校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：品种种植成本（万元/亩）设备成本（万元/亩）售价（万元/亩）A10.23.5B1.50.34.2设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求最

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