第一节二重积分的概念及性质教案
38页1、第九章重积分第一节二重积分的概念及性质重积分的概念1.引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D,侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面,顶是有二元非负连续函数zf(xy)所表示的曲面,如图91所示,这个立体称为D上的曲顶柱体,试求该曲顶柱体的体积图9 1图9 3解对于平柱体的体积V高底面积,然而,曲顶柱体不是平顶柱体,那么具体作法如下(1)分割把区域D任意划分成n个小闭区域,其中表示第i个小闭区域,12ni也表示它的面积。在每个小闭区域内,以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面,如图92所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。(2)近似在每一个小闭区域上任取一点(,),以f(i,i)为高,为底的平顶柱体iivi的体积f(i,i)i近似代替第i个小曲顶柱体的体积Vf(i,i)(3) 求和这n个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值nVVf(i,i)ii1(4) 取极限将区域D无限细分,且每个小闭区域趋向于或说缩成一点,这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即nVlim0f(i,i)ii1其中表示这n个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域
2、的直径是指区i域中任意两点间的距离)。引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy面上的有界闭区域D,它的密度为D上的连续函数z(x,y),试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量m密度薄片面积,然而,平面薄片并非均匀,那么具体作法如下(1) 分割将薄片(即区域D)任意划分成n个小薄片,其中表示第i个12ni小小薄片,也表示它的面积,如图93所示。(2) 近似在每一个小薄片i上任取一点(i,i),以(i,i)为其密度,当i很小时,认为小薄片是均匀的,则(i,i)i近似代替第i个小薄片的质量。即(3) 求和这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值m ( i, i) i(i,i)i1(4) 取极限将薄片D无限细分,且每个小薄片趋向于或说缩成一点,这个近似值趋近于薄片的质量。即nmlim0(i,i)ii1其中表示这n个小薄片直径中最大值的直径。i2二重积分的概念定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义,单纯地从数学结构角度来考虑,那就是二重积分。定义设zf(x,y)是有界闭区域D上的有界函数(1)将闭区域D任意分成n个小闭区域,,其中表示第i个小闭12ni区域,也表
3、示它的面积。(2)在每个上任取一点(,),作乘积f(,)(i=1,2,,n)iiiiiin(3)并作和f(,)iiii1(4)如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这和式的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作f(x,y)dD即nf(x,y)dlim0f(i,i)i.Di1其中f(x,y)叫做被积函数,f(x,y)d叫做被积表达式,d叫做面积元素,x与y叫做n积分变量,D叫做积分区域,f(,)叫做积分和。iii【注意】在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的,若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域,设矩形闭区域j的边长x和y则,xyk,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素d记作dxdy,从而f(x,y)df(x,y)dxdyDD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素3 .二重积分的几何意义若f(x,y)0,函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分表示为以D为底面,f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积;若f(x,y)0,表示柱体在xoy面的下方,二重积分是该柱体体积的相反数;若函数f
4、(x,y)在闭区域D上既有正的,又有负的,则二重积分表示在xoy面的上、下方的柱体体积的代数和。4 .二重积分存在性如果被积函数f(x,y)在积分区域D上连续,那末二重积分f(x,y)d必定存在。D二.二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即kf(x,y)dkf(x,y)dDD性质2(线性性)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。f(x,y) g(x, y)df (x, y)dg(x, y)d推论设、为常数,则f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDD性质3(可加性)若闭区域D被有限条曲线分成为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和(DD1D2)of(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2性质4若在D上f(x,y)1,为D的面积,则1ddDD推论AdAdADD性质5(不等式性)若在D上,f(x,y)g(x,y),则f(x,y)dg(x,y)dDD【特别地】If(x,y)f(x,y)|f(x,y),则f(x,y)d|f(x,y)dDD性质6(有界性)设M、m分别是f(x,y)在闭
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