向量与解析几何

1、考点专练向量与解析几何、三角函数襄樊四中 饶雨向量作为新增内容的一部分，在近几年的高考中出现的越来越多，它的出现经常是与解析几何或三角函数的内容紧密地联系在一起的。因此要处理好向量在三角函数及解析几何题中所处的位置及提供给解题者的信息，首先就要求每个解题者在头脑中要有一套完整的向量知识体系，只有这样才能准确地把握题中微向量知识为解题者提供的准确信息。同时向量在高中数学中主要起到工具和方法的作用，这也要求解题者能熟练地把其它问题转化为向量问题进而借用向量知识来解决问题。向量知识在解析几何中主要表现在如下几点（一）、直线方程和直线位置关系的判断这里主要有两个概念（Ax+By+C=0）,直线的方向向量（-B,A）及直线的法向量=(A,B) .直线方程的确定除了教材中的几种方法外，已知点P(x,y)及过P点直线的方向向量（cos,sin）,( 是直线的倾斜角)，P是直线上的任意一点，则有，它可以表示过P点的任意直线而不受直线倾斜角的限制，并由此可得直线的参数方程，这里既表示动点P到定点P的距离.给定两条直线Ax+By+C=0及Ax+ByC=0，可通过研究它们的法向量的关系从而得到两直线平行的必

2、要条件是ABAB=0，两直线垂直的充要条件是AA+BB=0。例1,当m取什么整数值时直线.(1),平行.(2)垂直.解析：两直线平行的必要条件是ABAB=0，两直线垂直的充要条件是AA+BB=0。因此得两直线平行的必要条件是得m=-3或4可验证m=-3或4均使两直线平行两直线垂直的充要条件是即（m+2）+2m(m-3)=0显然方程没有正整数解当m为负整数时必有故方程没有负整数解，当m=0时方程无解，故不存在整数m使两直线垂直。应对策略：本题是两直线位置关系判断的常见题型，如果从斜率或对应系数关系入手，就需要考虑斜率是否存在或系数是否为零等情况。若从法向量的关系入手问题就变得很简单。另外在处理两直线垂直的充要条件时，因为满足方程的解应是整数故可以先从m的范围入手，缩小m的范围，进行验证说明。（二）向量知识在圆锥曲线中出现时，用向量的知识解读题中的条件或用向量的知识解决题中的问题例2.如图，已知三角形PAQ,顶点P（3,0）。点A在y轴上,点Q在x正半轴上,(1) 当点A在y轴上移动时，求支点M的轨迹E(2) 设直线L:y=k(x+1)与轨迹E交于B,C两点,点D(1,0),若为钝角求K的

3、取值范围 解析。（1）设（2）设应对策略：解此题时，首先应正确解读条件中的向量条件此条件表示两线段的垂直同时也表示了三点之间的坐标关系。条件反应两条线段之间的数量关系也表现了三点之间的坐标关系，因此只要从这些关系入手就可以探求动点M的纵横坐标之间的关系，从而找出动点M的规迹方程。另外在利用为钝角这一条件时，既可用余弦定理来处理也可以利用到角公式来处理，但利用来处理这一问题就显得简单多了。因此合理利用向量知识是解决此类问题的关健，也是近几年高考的热点。例3.F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线L：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A,B两点，向量在向量方向上的投影是P。（1） 根据条件求出p和k满足的关系式：（2） 当（）P2=1时，求直线L的方程：（3） 当（）P2=m时且满足2m4时，求：面积的取值范围。 解析：（1）显然圆的方程是x2+y2=2,则得：，即b2=2(1+k2) (1)又由得x2-(kx+b)2=1即（1k2）x2-2kbx-b2-1=0显然得 (2kb)2-4(1-k2)(-b2-1)0,即b2k2-1

4、(2)把（1）代入（2）显然成立，故b,k的关系是：b2=2(1+k2 )且（2） 设（cos,sin）则p= cos且(tan)2=k2，A(x1,y1) B(x2,y2) 由（）P2=1得：（x1x2+y1y2）cos2=1, x1x2+y1y2=1+k2，即（1k2）x1x2+kb(x1+x2)+b2=1+k2 (3) 把x1+x2，x1x2代入（3）得（1k2）kb+b2=1+k2化简得：k4-k2-2=0,k2=2即k=代入（1）得b=故L:y=x(3)直线L与圆O相切,故点O到直线的距离为，由（）P2=m可得k2=1+故S由m故S应对策略：此题关健是对向量在向量方向上的投影是P的理解，由于向量是单位向量且方向与直线AB的方向向量同向故可设（cos,sin）其中与直线的倾斜角相同或互补，别外就是投影这个概念必须清楚：即其中是两向量的夹角。（三）向量在三角函数题中出现也主要表现在用向量的知识解读三角函数题中的条件或用向量知识解决三角函数问题例4, 已知A、B、C是三内角，向量且（）求角A（）若解析：（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 应对策略：此题主要是通过向量的数量

5、积来给出三角关系，这与传统的条件给法有些不同。同时考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。例5，已知向量，求；若的最小值是，求实数的值；解析：ab=| a+b|=， | a+b|=2cosx. 即， 时，当且仅当取得最小值1，这与已知矛盾.时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，为所求.应对策略：此题是典型的向量与三角联系的题，这需要处理好向量的基本知识，同时借助于函数知识进行解答，是一个比较综合的问题。例6：ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.解析，应对策略：此题主要表现在处理好向量的模的同时，进行三角变形和化简。以下习题供同学们练习时选用：（1），P是椭圆上的任意一点，F1、F2是它的两焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是 . （）（2），将抛物线沿向量平移得到抛物线则向量为 （1，2）（3）， 已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 （）（4）,设向量a=(1,2),b=(1,1),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 (2,6)（5）若分别是直线L1:ax+(b-a)y-a=0,L2:ax+4by+b=0的方向向量，则a,b的值分别可以是 （2,1）（6）,已知向量夹角的范围是 （）（7）设，且点B的坐标为B（3，2，1）则点A的坐标为 . （8，0，22）（8）已知OPQ的面积为S，且； （1）若，求向量的夹角的取值范围； （2）设以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当上变动时，求的最小值，并求出此时的椭圆方程.参考答案：（1）夹角为，与夹解为，又 （2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系， ，由 令上是增函数，上为增函数，当m=2时，此时P（2，0），椭圆另一焦点为P（2，0），则椭圆长轴长， 故椭圆方程为（饶雨：襄樊四中数学高级教师）

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