高中数学解题思想方法技巧全集34 参数开门 宾主谦恭
6页1、数学破题36计第34计 参数开门 宾主谦恭计名释义参数,顾名思义,是种“参考数”.供谁参考,供主变量参考.因此,参数对于主元,是种宾主关系,他为主元服务,受主元重用.在数学解题的过程中,反客为主,由参数唱主角戏的场景也异常精彩.有趣的是,“参数何在,选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时,你有两种选择,一是参数就立足在面前,由你认定;二是参数根本不在,要你“无中生有”.典例示范【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知与共线,与共线,且0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析】 四边形“没有”面积公式,因此难以用某边长为参数,建立面积函数式.幸好,它有两条互相垂直的对角线PQ和MN,使得四边形面积可用它们的乘积来表示,然而,它们要与已知椭圆找到关系,还需要一个参数k,并找到PQ,MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.【解答】 如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQMN,直线PQ、NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k.【插语】 题设中没有这个k,因此是“无中生有”式的参数.我们其所以看
2、中它,是认定它不仅能表示|PQ|= f1(k),还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图【续解】 又PQ过点F(0,1),故PQ方程为y=kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0,设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1=,从而PQ2(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.【插语】 无论在椭圆方程中,还是P,Q,M,N的坐标中,x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位,问题已经发生了转程.【续解】 ()当k0时,MN的斜率为-,同上可推得,MN=,故四边形S|PQ|MN|=.令u=k2+,得S=.因为u=k2+2,当k=1时,u=2,S=,且S是以u为自变量的增函数,所以S2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)0当a-1,1时恒成立.令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只须(-,-1)(3,+)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.【解答一】 设tan=t,则y=即t2(y-3)-2t+3y-3=0 t=tanR, 关于t的方程必有实数根, = 4-43
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