2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析）

1、2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于()A. a+bB. abC. abD. ba2.若复数z满足z(2i)=2i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在ABC中，A=60，AC=4，BC=2 3，则角B的值为()A. 90B. 60C. 45D. 304.已知复数z=a+bi(a,bR)，i是虚数单位，若z2z=2+3 3i，则复数z的虚部为()A. 3B. 2 3C. 3iD. 2 3i5.已知向量a=(4,3)，则与向量a方向相反的单位向量是()A. (45,35)B. (45,35)C. (45,35)D. (45,35)或(45,35)6.已知ABC三条边上的高分别为3，4，6，则ABC最小内角的余弦值为()A. 78B. 158C. 1124D. 7247.已知圆O的半径为2，弦AB的长为2，C为圆O上一动点，则|AC+

2、BC|的取值范围是()A. 0,2B. 0,4C. 2 3,2+ 3D. 42 3,4+2 38.在ABC中，已知AB=2AC，BAC=120，若D，E分别是BC的三等分点，其中D靠近点B，记a=ABAD,b=ADAE,c=AEAC，则()A. abcB. acbC. cbaD. ba2b”是“sinAsin2B”成立的充分不必要条件D. sinA, sinB, sinC一定能构成三角形的三条边11.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边AB，AC上，且ABC的重心在DE上，又AD=xAB,AE=yAC，设ADE=，(SABC,SADE为相应三角形的面积)，则以下正确的是()A. 1x+1y=3B. SADESABC的最小值为49C. csin=asin(B)+bsin(A+)D. ccos=acos(B)+bcos(A+)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=m5ii1为纯虚数，i是虚数单位，则|z+m|= _13.已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,2)，且|a+b|=|2ab|，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是_14.

3、四边形ABCD中，AC与BD交于点P，已知AB=2AD=6，且P是AC的中点，BP=2PD，又sinACD=3 1414，则四边形ABCD的面积是_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=4,(2a+b)b(1)求向量a与b夹角的余弦值；(2)求|a+12b|的值16.(本小题15分)在ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccosA=2ba(1)求角C的大小；(2)若c=2 3,b=2，求ABC的面积17.(本小题15分)如图，在ABC中，已知AB=2，AC=4，BAC=60，M是BC的中点，N是AC上的点，且AN=xAC,AM,BN相交于点P.设AB=a,AC=b(1)若x=13，试用向量a,b表示AM,PN；(2)若AMBN，求实数x的值18.(本小题17分)在锐角ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2sin(AB)=c2 3cosC(1)求角C的大小；(2)求c2a2+b2的取值范围19.(本小题17分)设平面内两个非零向量m,n的夹角为，定义

4、一种运算“”：mn=|m|n|sin试求解下列问题：(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,ab=4，求ab的值；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)，B(1,2)，C(0,4)，求ABBC的值；(3)已知向量a=(1cos,2sin),b=(2sin,1cos),(0,2)，求ab的最小值答案和解析1.【答案】B【解析】解：AB=CBCA=BCCA=ab=(a+b)=ab，故选：B利用减法的三角形法则可得答案本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题2.【答案】B【解析】解：由z(2i)=2i，得z=2i2i=2i(2+i)(2i)(2+i)=25+45i复数z在复平面内对应的点的坐标为(25,45)，位于第二象限故选：B利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标即可本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.【答案】A【解析】解：因为在ABC中，A=60，AC=b=4，BC=a=2 3，所以由正定理得：asinA=bsinBsinB=bsinAa=4 322 3=1，由于B(0,)，所以B=2故选

5、：A根据正弦定理即可求解本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4.【答案】A【解析】解：复数z=a+bi(a,bR)，则z2z=(a+bi)2(abi)=a+3bi=2+3 3，即a=23b=3 3，解得a=1b= 3，所以复数z的虚部为 3故选：A根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的概念，即可求解本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的概念，属于基础题5.【答案】B【解析】解：与向量a方向相反的单位向量为：a|a|=15(4,3)=(45,35)故选：B可知与向量a方向相反的单位向量为a|a|，然后根据向量a的坐标即可得解本题考查了单位向量的定义，向量坐标的数乘运算，是基础题6.【答案】A【解析】解：由题意，不妨设ABC的三边a，b，c上对应的高的长度分别为3，4，6，由三角形的面积公式可得：123a=124b=126c，解得：3a=4b=6c，设3a=4b=6c=x，则a=13x，b=14x，c=16x，可得c为三角形最小边，C为三角形的最小内角，由余弦定理可得：cosC=a2+b2c22ab=19x2+116x2136x2213x14x=78故选：A不妨设AB

6、C的三边a，b，c上对应的高的长度分别为3，4，6，由三角形的面积公式可得3a=4b=6c，设3a=4b=6c=x，可得a=13x，b=14x，c=16x，可得C为三角形的最小内角，由余弦定理即可计算得解本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7.【答案】D【解析】解：以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：设A(1, 3)，B(1, 3)，C(2cos,2sin)，0,2)，所以AC=(2cos+1,2sin 3)，BC=(2cos1,2sin 3)，所以AC+BC=(4cos,4sin2 3)，(AC+BC)2=16cos2+16sin216 3sin+12=2816 3sin，=2时，(AC+BC)2取得最小值为2816 3=(42 3)2，=32时，(AC+BC)2取得最大值为28+16 3=(4+2 3)2，所以|AC+BC|的取值范围是42 3,4+2 3.故选：D以O为原点建立平面直角坐标系，设A(1, 3)，B(1, 3)，C(2cos,2sin)，0,2)，利用坐标表示向量，求出AC+BC的模长取值范围即可本题考

7、查了平面向量的数量积与模长计算问题，也考查了数形结合思想，是中档题8.【答案】C【解析】解：据题意，建立如图所示坐标系，设AC=2，则AB=4，由BAC=120，D，E分别是BC的三等分点，可得A(0,0)，B(4,0)，C(1, 3)，D(73, 33)，E(23,2 33)，则a=ABAD=(4,0)(73, 33)=283，b=ADAE=(73, 33)(23,2 33)=209，c=AEAC=(23,2 33)(1, 3)=43，故cb2b，则sinA2sinB2sinBcosB=sin2B，故“a2b”是“sinAsin2B”的充分条件，若sinAsin2B，则sinA2sinBcosB，所以a2bcosB，当cosB2b不成立，故“a2b”是“sinAsin2B”的不必要条件，综上：“a2b”是“sinAsin2B”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由正弦定理可得 sinA： sinB： sinC= a： b： c，不妨设abc，故 a b2 ab0，所以( a+ b) c，故D正确故选：BCD对于A，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；对于B，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；对于C，利用二倍角公式与正弦定理，由a2b，可得sinAsin2B，反之不成立，可得结论；对于D，根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可求解本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数恒等变换的应用，主要考查

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