定积分在实际问题中的应用
8页1、第二节定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.内容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用。教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积。教学难点:运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积教学内容:一、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数均在区间上连续,且,现计算由所围成的平面图形的面积。分析求解如下:(1) 如图6-3所示,该图形对应变量的变化区间为,且所求平面图形的面积对区间具有可加性。(2) 在区间内任取一小区间,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以为底,为高的小矩形的面积(图63)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为(3) 所求图形的面积图6-3【例1】求曲线,直线及所围成的平面图形的面积。解对应变量的变化区间为,在内任取一小区间,其所对应小窄条的面积用以为底,以为高的
2、矩形的面积近似代替,即面积微元于是所求面积【例2】求曲线及所围成的平面图形的面积.解由求出交点坐标为和,积分变量的变化区间为,面积微元即于是所求面积若平面图形是由连续曲线所围成的,其面积应如何表达呢?分析求解如下:(1)对应变量的变化区间为,且所求面积对区间具有可加性。(2)在的变化区间内任取一小区间,其所对应的小曲边梯形的面积可用以为长,以为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为于是所求面积【例3】求曲线,直线所围成的平面图形的面积。解由解得交点坐标为和,则对应变量的变化区间为,此时,则面积微元于是所求面积【例4】求由及所围成的平面图形的面积.解为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.由得交点.方法一选为积分变量,则对应的变化区间为,此时面积微元于是方法二选为积分变量,对应的变化区间为,此时,则面积微元于是注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同。【例5】求椭圆的面积.解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即利用椭圆的参数方程应用定积分的换元法,且当时,时,,于是2。空间立体的体积(1)平行截面
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