谈谈数列中的放缩法
8页1、谈谈数列中的放缩法高考中利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现(虽然数列在高考中已有所降温)放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式复杂,运算要求高,往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取和处理信息的能力,较好地体现高考的甄别功能缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握裂项放缩与裂项(1)基本放缩; ; ,(kN+)(2)对的放缩 (); (); (3)对的放缩();(4)
2、对的放缩;(关系不明显的需证明)(5)(*)(6)对的放缩典型例题例1 (型)若是自然数,求证:2、(节选2014广东文) ,求证:对一切正整数,例2、(根式型)求证:,其中变式:(灵活放缩)已知各项均为正数的数列的前项和为,且(1) 求证:;(2) 求证:解:(1)在条件中,令n1,得,又由条件,有:,上述两式相减,注意到,得,故而,所以,所以;(2)由nn1,得,即,所以,例4(构造型放缩)(2014高考数学新课标理17)已知数列满足,()证明是等比数列,并求的通项公式;()证明:解:(1)证明略,;(2)由(I)知,因为时,所以于是(其他方法这里不介绍)变式:设数列为单调递增的等差数列,且依次成等比数列()求数列的通项公式;(II)若,求证:解: .3分而所以.13分灵活拓展:1、(13成都一诊)数列中,且当时, (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前n项和; (3)求证:解:(I);3分(II);7分(III)显然时不等式成立,当时,故时,2、已知函数满足:若,设,为数列前n项和,证明:解析:,一、分式和准确变形,裂项相消例 (06全国I理22)设数列的前项的和,(1)
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