谈谈数列中的放缩法
谈谈数列中的放缩法高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现（虽然数列在高考中已有所降温）放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握裂项放缩与裂项（1）基本放缩； ； ，（kN+）（2）对的放缩 （）； （）； （3）对的放缩（）；（4）对的放缩；（关系不明显的需证明）（5）（*）（6）对的放缩典型例题例1 （型）若是自然数，求证：2、(节选2014广东文) ，求证：对一切正整数，例2、（根式型）求证：，其中变式:（灵活放缩）已知各项均为正数的数列的前项和为，且(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令n1，得，又由条件，有：，上述两式相减，注意到，得，故而，所以，所以·；（2）由nn1，得，即，所以，例4（构造型放缩）（2014高考数学新课标理17）已知数列满足，（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：解：（1）证明略，；（2）由（I）知，因为时，所以于是（其他方法这里不介绍）变式：设数列为单调递增的等差数列，且依次成等比数列（）求数列的通项公式；（II）若，求证：解： .3分而所以.13分灵活拓展：1、（13·成都一诊）数列中，且当时， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）求证：解：（I）；3分（II）；7分（III）显然时不等式成立，当时，故时，2、已知函数满足：若，设，为数列前n项和，证明：解析：，一、分式和准确变形，裂项相消例 （06·全国I·理·22）设数列的前项的和，（1）求首项与通项；（2）设，证明：解析：（I），；（II）证明：，二、指数和裂项无效，化归等比例 （节选06·福建·理·22） 已知，求证：证明：三、把握结构，均分放缩对形如“（其中是常数）”的不等式，由于左边是项之和，右边可以变形为个之和，所以可考虑左边的每一项能否放大到像这种每一项的放缩度是一样的，称为均分放缩，是化归等比的特例如上例中：可以用此法来证明，只需证明每项均小于即可因为，所以注：均分放缩，应从欲证不等式的结构形式上去考虑，由于每项放缩度是一样的，放缩程度比较大，因此可以考虑前面一项或前面几项不放缩，对后面几项进行放缩四、特殊探路，确定目标合理变形，不断调整如果不等关系不明确时，可以先选取几个特殊值进行尝试，名曲目标后再进行论证例 设函数，已知不论，为何实数，恒有，对于正数列，其前项和（1）求实数的值；（2）求数列的通项公式；（3）若，且数列的前项和，比较与的大小，并说明理由解析：（I）；（II），；到底是放大还是缩小？我们可以用特殊值探路，当时，都有，由此可以大胆猜想证明目标：“”，明确放缩方向后，进行尝试探索，并不断调整，努力接近解题目标，直到解决问题在上例中，明确方向后，估计是通过裂项相消，能出现的形式，再判断的符号因此关键是对进行放缩变形，可以采用不同的试探方式经计算发现，只有（5）能有效解决问题注：在使用放缩证题时，经常会遇到放的太大或者缩得太小的情况，因此需要大胆尝试、猜想、判断，并不断的调整，虽经失败，但从中获得了教训和经验，对培养我们的探索精神大有裨益五、准确判断，确定起点例1 （2013·广东·理）若是自然数，求证：证明：记，当时,原不等式成立. 当时, 当时, 原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.六、放缩一步到位在用“放缩法”证明不等式时，最易犯的错误是放缩过头.为了避免放缩过头，人们往往反复尝试，才可能找到最适当的放缩方式，这样做费时又费力.如何恰到好处地放缩，自然为广大师生所关注本文将用待定系数法来准确把控放缩程度，从而证明相关不等式例1 求证：证明：因为所以“”是如何想到的？为何不是、等其他数？可能有人会说是试出来的有没有办法一步到位找到这个呢？其实，我们学习过待定系数法，这里我们使用待定系数法来寻找这个设待定实数， 则，令，且，知成立例2 求证：证明：显然时不等式成立，当时，例3 求证：因式分解故而：，【当然，我们有理由猜测必定需要将放大成或者中的某一个（否则，你有什么比较妙的办法呢？），然后用待定系数法求出即可得出答案了】1
