2025版高考数学总复习第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时提能训练

1、第5讲 椭圆 第1课时A组基础巩固一、单选题1(2024四川成都七中开学考)椭圆1的焦距是2，则m的值为( C )A5 B3C5或3 D20解析因为焦距是2，所以c1，当焦点在x轴时，a2m，b24，c2a2b2m41，解得m5，当焦点在y轴时，a24，b2m，c2a2b24m1，解得m3，故选C.2(2023河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( B )A. BC D解析不妨设直线l：1，即bxcybc0椭圆中心到l的距离e，故选B.3(2023安徽六安示范性高中质检)过点，且与双曲线y21有相同焦点的椭圆的标准方程为( D )A.1 B1C.1 D1解析由题意c2，双曲线y21的左焦点为F1(2,0)，右焦点为F2(2,0)，设P，则2a|PF1|PF2|2，所以a，b21046，所以椭圆的方程为1.故选D.4(2022安徽宣城模拟)设椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1|PF2|的值是( D )A14 B17C20 D23解析由题意知a5，b4，c3.且|10，又9，|cos

2、F1PF29.又62|2|22|cos F1PF2(|)22|18822|，|PF1|PF2|23.故选D.5(2024云南师大附中月考)已知点P为椭圆C：y21上的一个动点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，当F1F2P的面积为1时，F1PF2( D )A. BC. D解析易知焦点三角形F1F2P的面积为1，故SF1F2Pb2tan1，所以tan1，则F1PF2，故选D.6(2023高考新课标卷)设椭圆C1：y21(a1)，C2：y21的离心率分别为e1，e2.若e2e1，则a( A )A. BC. D解析由e2e1，得e3e，因此3，而a1，所以a.故选A.7(2024河南平许济络质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若2，则椭圆C的方程为( B )A.1 B1C.1 D1解析显然离心率e，解得，即b2a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是(a，b)，(a，b)，而2，即a2b22，又b2a2，因此联立解得a28，b26，所以椭圆的方程为1.故选B.8(2024江苏淮

3、安淮阴中学期中)若点(x，y)在椭圆4x2y24上，则的最小值为( C )A1 B1C D以上都不对解析设直线yk(x2)，代入椭圆方程消去y得(4k2)x24k2x4k240，令16k44(4k2)(4k24)0，解得k，由图可知，直线与椭圆相切时k取得最值，所以kmin，即的最小值为.故选C.9(2024湖北高中名校联盟联考)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且2，0，则椭圆C的离心率为( C )A. BC D解析连接NF2，设|NF1|n，则|MF1|2n，|MF2|2a2n，|NF2|2an，在RtMNF2中(3n)2(2a2n)2(2an)2，9n24a28an4n24a24ann2，12n24an，n，|MF1|，|MF2|.在RtMF1F2中，4c2，36c220a2，e2，又e(0,1)，e，故选C.二、多选题10(2024山东临沂联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则( AD )A椭圆C的离心率为BPF2F1的周长为4C若F2PF160，则PF2F1的面

4、积为3D若|PF1|PF2|4，则F2PF160解析由题意ac3，ac1，故a2，c1，故A正确；PF2F1的周长为2a2c6，故B错误；若F2PF160，则|F2F1|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即(2c)2(2a)23|PF1|PF2|，故|PF1|PF2|4，故SPF2F1|PF1|PF2|sin 60，故C错误；由余弦定理|F2F1|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF2PF1(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cosF2PF1)，即41624(1cosF2PF1)，解得cosF2PF1，故F2PF160，故D正确故选AD.11(2023广东六校联考)已知椭圆C：1焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( ACD )A.m1m0，解得m1，A正确；设F1(c,0)，F2(c,0)，则c2m(1m)2m1，故C的离心率为，B错误；由c2b2a22b23m20得m，即当m1时，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点P，此时F1PF2

5、90，C正确；SF1PF2cb，D正确故选ACD.三、填空题12(2021全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 8.解析因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|m，|PF2|n，则mn8，m2n248，所以64(mn)2m22mnn2482mn，mn8，即四边形PF1QF2面积等于8.13(2023广西柳州摸底)已知A(3,1)，B(3,0)，P是椭圆1上的一点，则|PA|PB|的最大值为 9.解析根据题意可得：a4，b，c3，则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3,0)，|PB|PF|8，即|PB|8|PF|，b0)的左右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|AF2|，AF2x轴，则椭圆的离心率为 .解析由|AF1|3|AF2|，得|AF1|AF2|4|AF2|2a，所以|AF2|，|AF1|，因为AF2x轴，所以|AF2|2|F1F2|2|AF1|2，即4c2，所以，即椭圆的离心率为.15(2024广

6、东百校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线yx的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范围为 .解析设C的半焦距为c，则F(c,0)关于直线yx的对称点P的坐标为(0，c)，因为P落在C上或C内，所以bc，所以a2c2b2c2，即e22e.又0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1F1F2.直线PF2与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若2，则C的离心率为( D )A. BC D解析如图，连接F1Q，由2，得|PF2|4|F2Q|，设|F2Q|t，则|PF2|4t，|PF1|2a4t，|QF1|2at.由余弦定理得|QF1|2|PF1|2|PQ|22|PF1|PQ|cosF1PQ，即(2at)2(2a4t)2(5t)22(2a4t)5t，整理得ta，则|F1F2|a，故e.2(2024河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为点F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是( C )A. BC D解析由题意可得|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，所以S

7、MF1F2(|MF1|MF2|F1F2|)，又SMF1F2|F1F2|yM|c|yM|，所以|yM|，又|yM|b，所以b，化简，得a2c2，即ac，解得，所以e的最大值为.故选C.3(2023高考全国甲卷)已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2，则|PO|( B )A. BC D解析解法一：设F1PF22，0，所以SPF1F2b2tanb2tan ，由cosF1PF2cos 2，解得tan ，由椭圆方程可知，a29，b26，c2a2b23，所以SPF1F2|F1F2|yP|2|yP|6，解得y3，即x9，因此|OP|.故选B.解法二：因为|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|12，联立，解得|PF1|PF2|，|PF1|2|PF2|221，而()，所以|OP|，即|.故选B.解法三：因为|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|12，联立，解得|PF1|2|PF2|221，由中线定理可知，(2|OP|)2|F1F2|22(|PF1|2|PF2|2)42，易知|F1F2|2，解得|OP|.故选B.4(2024吉林四平期中)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|(|PF2|2)的最大值为 25.解析因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|PF2|8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|2)225，当且仅当|PF1|PF2|2，即|PF1|5，|PF2|3时等号成立5(2024四川达州外国语学校测试)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F

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