2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案
4页1、文档供参考,可复制、编制,期待您的好评与关注! 2011年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案(考试时间:2011年9月3日上午10001120)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分把答案填在横线上1. 设数列满足,则 .答案:8041.由题意,且,.,.2. 不等式对一切成立,则实数a的取值范围为 .答案:或.由题意,即对成立.令解得.3. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件:(1) ,其中为正整数;(2) .则 .答案:2023066.在(1)中,令得,. 令得,. 令,并利用(2)得,. 由得,.代入得, .4. 方程一共有 个解.答案:4.方程的所有解为;方程的所有解为;方程的所有解为;方程的所有解为;方程的所有解为;一般地,方程的所有解为.5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .答案:11厘米.设正方体的棱长为,因为正方体的对角线长不大于球的直径,所以,即,即.6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .答案:.过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为,由.由题意,方程
2、没有非零实数解.7. 计算:.答案:.原式.8. 10名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案:1530.推广到一般情形,设个学生按题设方式排列的方法数为,则,.从而,.二、解答题:本大题共3小题,共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分16分)若是大于2的正整数,求的最小值.解:当时,假设时,则当时, 因此,所求最小值为.2(本小题满分20分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少?解:令a, b和c 为一个三角形的三边,则a+bc, b+ca和c+ab.不妨设开始时的线段为区间0, 1,并且随机选取的两点为x和y ,其中0xyx). .答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是.3(本小题满分20分)数列满足,当时有. 证明:对所有整数,有.证法1:由已知得,在上式中以代替得,两式相减得,此式对所有整数均成立.设,则由于,故应在与之间. 由于,故. 因此当时,均有,故,证毕.证法2:用归纳法证明加强命题:an (n 3)1 当n = 3, 4时, a3 = 1 , a4 = 结论成立2 假设当n1时结论成立,当n + 1时, an + 1 = (a0 + a1 + + an1) = (1 + a3 + a4 + + an1) (1 + + + + )= (1 + ) = 所以结论对n + 1时亦成立由归纳法原理及1, 2 可知 an (n 3) 成立因此an (n 3) 成立从而本题得证 /
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