2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 2011年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案（考试时间：2011年9月3日上午10001120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在横线上1. 设数列满足，则 .答案：8041.由题意，且，.，.2. 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 .答案：或.由题意，即对成立.令解得.3. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件：(1) ，其中为正整数；(2) .则 .答案：2023066.在(1)中，令得，. 令得，. 令，并利用(2)得，. 由得，.代入得， .4. 方程一共有 个解.答案：4.方程的所有解为；方程的所有解为；方程的所有解为；方程的所有解为；方程的所有解为；一般地，方程的所有解为.5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .答案：11厘米.设正方体的棱长为，因为正方体的对角线长不大于球的直径，所以，即，即.6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .答案：.过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为，由.由题意，方程没有非零实数解.7. 计算：.答案：.原式.8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案：1530.推广到一般情形，设个学生按题设方式排列的方法数为,则，.从而，.二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1（本小题满分16分）若是大于2的正整数，求的最小值.解：当时，假设时,则当时， 因此，所求最小值为.2（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？解：令a, b和c 为一个三角形的三边，则a+b>c, b+c>a和c+a>b.不妨设开始时的线段为区间0, 1，并且随机选取的两点为x和y ，其中0<x<y<1.如下图所示，“成功”的区域是由不等式，和 围成的三角形，面积为，而整个区域的面积为（因为y>x）. .答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是.3（本小题满分20分）数列满足，当时有. 证明：对所有整数，有.证法1：由已知得，在上式中以代替得，两式相减得，此式对所有整数均成立.设，则由于，故应在与之间. 由于，故. 因此当时，均有，故，证毕.证法2：用归纳法证明加强命题：an (n 3)1° 当n = 3, 4时， a3 = 1 , a4 = 结论成立2° 假设当n1时结论成立，当n + 1时， an + 1 = (a0 + a1 + + an1) = (1 + a3 + a4 + + an1) > (1 + + + + )= (1 + ) = > 所以结论对n + 1时亦成立由归纳法原理及1°, 2° 可知 an (n 3) 成立因此an > (n 3) 成立从而本题得证 /