培优专题3-用分组分解法进行因式分解(含答案)
7页1、3、用分组分解法进行因式分解【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式,所得的结果为( ) 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 解:原式 故选择C 例2. 分解因式 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把,分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解法1: 解法2: 2. 在几何学中的应用 例:已知三条线段长分别为a、b、c,且满足 证明:以a、b、c为三边能构成三角形 分析:构成三角形的条件,即三边关系定理,是“
2、两边之和大于第三边,两边之差小于第三边” 证明: 3. 在方程中的应用 例:求方程的整数解 分析:这是一道求不定方程的整数解问题,直接求解有困难,因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解 解: 4、中考点拨 例1.分解因式:_。 解: 说明:观察此题是四项式,应采用分组分解法,中间两项虽符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起,再应用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式:_ 解: 说明:前两项符合平方差公式,把后两项结合,看成整体提取公因式。 例3. 分解因式:_ 解: 说明:分组的目的是能够继续分解。5、题型展示: 例1. 分解因式: 解: 说明:观察此题,直接分解比较困难,不妨先去括号,再分组,把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知:,求ab+cd的值。 解:ab+cd= 说明:首先要充分利用已知条件中的1(任何数乘以1,其值不变),其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结果。 例3. 分解因式: 分析:此题无法用常规思路分解,需拆添项。观察多项式发现当x=1时,它的值为0,这就意味着的一个因式,因此变形的目的是凑这个因式。 解一(拆项): 解二(添项): 说明:拆添项法也是分解因式的一种常见方法,请同学们试拆一次项和常数项,看看是否可解?【实战模拟】 1. 填空题: 2. 已知:3. 分解因式:4. 已知:,试求A的表达式。 5. 证明:【试题答案】 1. (1)解: (2)解: (3)解: 2. 解: 说明:因式分解是一种重要的恒等变形,在代数式求值中有很大作用。 3. 解: 4. 解: 5. 证明: - 1 -
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