江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.1计数原理与二项式定理讲义含解析20
14页1、专题八 二项式定理与数学归纳法(理)江苏卷5年考情分析本部分内容在高考中基本年年都考,并以压轴题形式考查.2014年考复合函数求导和数学归纳法;2015年主要考查计数原理,又涉及到数学归纳法;2016年考查组合数及其性质等基础知识,考查考生的运算求解能力和推理论证能力;2017年考查概率分布与期望及组合数的性质,既考查运算能力,又考查思维能力.2018年考查计数原理,考查考生的运算求解能力和推理论证能力近几年高考对组合数的性质要求较高,常与数列、集合、不等式、数学归纳法等知识交汇考查第一讲 计数原理与二项式定理题型(一)计数原理的应用主要考查两个计数原理在集合或数列中的应用. 典例感悟例1(2018江苏高考)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n5)的表达式
2、(用n表示)解(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)0,(132)1,(213)1,(231)2,(312)2,(321)3,所以f3(0)1,f3(1)f3(2)2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.(2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)n1.为计算fn1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n1添加进原排列,n1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此fn1(2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n.当n5时,fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)(n1)(n2)4f4(2),因此,当n5时,fn(2).方法技巧(1)深化对两个计数原理的认识,培养“全局分类”和“局部分步”的意识,并在操作中确保:分类不重不漏;分步要使各步具有连续性和独
3、立性. (2)解决计数应用题的基本思想是“化归”,即由实际问题建立组合模型,再由组合数公式来计算其结果,从而解决实际问题演练冲关(2018苏北三市三模)已知集合U1,2,n(nN*,n2),对于集合U的两个非空子集A,B,若AB,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;(2)求f(n)解:(1)f(2)1,f(3)6,f(4)25.(2)法一:设集合A中有k个元素,k1,2,3,n1.则与集合A互斥的非空子集有2nk1个于是f(n)(2nk1)(2nk)因为2nk2nkC2nC20(21)n2n13n2n1,CC2n2,所以f(n)(3n2n1)(2n2)(3n2n11). 法二:任意一个元素只能在集合A,B,CU(AB)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种,其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n22n1.又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)(3n2n11).题型(二)二项式
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