大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案
10页1、2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2016年3月13日9 : 00 11 : 00满分150分一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为 A , B , C, D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1 在平面直角坐标系xOy中,已知点B(0,2),点A在x轴正半轴上且.BAO = 30。将 OAB沿直线AB折叠得 CAB,则点C的坐标为( )A. (1,3)B. (73,3)C. (3,73)D. (73,1)【答案】B【解答】如图,设CD _ x轴于点D。依题意,CA =OA =2 ,3,. CAO =2. BAO = 60。所以,CD =3,AD = 3,OD 二。因此,点C的坐标为G.3,3)。2.若实数 a , b 满足 a232 , b232,且 a = b,贝U (V a2)(1 b2 ()A . 18B. 12C. 9 D. 6【答案】 A【解答】依题意,a , b为方程x2,3x-2=0的两个不同实根。因此,由韦达定理得,a b - -3 , ab -
2、-2。(1 a2)(1 b2) =(1 2 -3a)(1 2 _3b) = 9(1 _a)(1 _b) = 9 1 _(a b) ab - 9(1 3-2) =18。 或解:(1 a2 )(1 b2) =1 a2 b2 a2b2 =1 (a b)2 -2ab a2b2 =1 9 4 4 =18。3.若关于x的方程 口 口 学卫=0只有一个实数根,则符合条件的所有实数a的 x-2 x+2 x-4值的总和为()A. -6B. -30C. -32D. -38【答案】D【解答】方程J2 匸2 竽上=0化为2x2 4x a 0 x2 x+2 x -4若方程有两个相等实根,则 =16-8(a,8)=0 , a = -6。a - -6时,方程的根捲=X2 - -1,符合要求。若x=2是方程的根,则8 8 a 0 , a =-24,此时,方程的另一个根为x = -4 ,符合要求。若x2是方程的根,则8-8,a,8=0 , a - -8,此时,方程的另一个根为x = 0,符合要求。所以,符合条件的a有_6,-24,4.如图,在 ABC 中,AB =6,交AB于点D记 CAI的面积为-8,其总和为-38B
3、C =3, CA = 7 , I DAI的面积为n为 ABC的内心,连接CI并延长C.【答案】【解答】IC。n IDIC由I ABC的内心知,IDACBC所以,由等比定理知,5 已知x,y为实数, 值为m,则MoAD BDm IC AC BC AC BC n 一 ID 一 AD 一 BD 一 AD DBA. 4036415【答案】【解答】C由 x2 - xy且满足 x2 -xy 4y2 = 4,记u)=x2 xy 4y2的最大值为M,最小4y2 =4,得 x2 4y2xy 4,2 2u = x xy 4y 2xy 4。5xy =4xy ( x 4 y - 4) = (x 2y? - 4_ -,当且仅当 x = -2y,2.10V,10 亠 2 .10,或x w,y二-二0时等号成立。5xy的最小值为-,u = x2 xy 4y2512=2xy 4的最小值为,即12 m52 2 23xy =4xy _(x 4y _4)=4_(x_2y)4,当且仅当x = 2y,26V,竽,y 于时等号成立。xy的最大值为,= x2 xy 4y2320二2xy 4的最大值为2,20。M m倍旦耀。3515
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