大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2016年3月13日9 : 00 11 : 00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为 A , B , C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1 在平面直角坐标系xOy中，已知点B（0,2），点A在x轴正半轴上且.BAO = 30。将 OAB沿直线AB折叠得 CAB，则点C的坐标为（ ）A. （1，3）B. （73,3）C. （3,73）D. （73,1）【答案】B【解答】如图，设CD _ x轴于点D。依题意，CA =OA =2 ,3，. CAO =2. BAO = 60。所以，CD =3，AD = 3，OD 二。因此，点C的坐标为G.3,3）。2.若实数 a , b 满足 a232 , b232，且 a = b，贝U (V a2)(1 b2 ()A . 18B. 12C. 9 D. 6【答案】 A【解答】依题意，a , b为方程x2,3x-2=0的两个不同实根。因此，由韦达定理得，a b - -3 , ab - -2。(1 a2)(1 b2) =(1 2 -3a)(1 2 _3b) = 9(1 _a)(1 _b) = 9 1 _(a b) ab - 9(1 3-2) =18。 或解：(1 a2 )(1 b2) =1 a2 b2 a2b2 =1 (a b)2 -2ab a2b2 =1 9 4 4 =18。3.若关于x的方程 口 口 学卫=0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的 x-2 x+2 x-4值的总和为（）A. -6B. -30C. -32D. -38【答案】D【解答】方程J2 匸2 竽上=0化为2x2 4x a 0 x2 x+2 x -4若方程有两个相等实根，则 =16-8（a，8）=0 , a = -6。a - -6时，方程的根捲=X2 - -1，符合要求。若x=2是方程的根，则8 8 a 0 , a =-24，此时，方程的另一个根为x = -4 ,符合要求。若x»2是方程的根，则8-8，a，8=0 , a - -8，此时，方程的另一个根为x = 0,符合要求。所以，符合条件的a有_6，-24，4.如图，在 ABC 中，AB =6,交AB于点D记 CAI的面积为-8，其总和为-38BC =3, CA = 7 , I DAI的面积为n为 ABC的内心，连接CI并延长C.【答案】【解答】IC。n IDIC由I ABC的内心知，IDACBC所以，由等比定理知,5 已知x，y为实数, 值为m，则MoAD BDm IC AC BC AC BC n 一 ID 一 AD 一 BD 一 AD DBA. 4036415【答案】【解答】C由 x2 - xy且满足 x2 -xy 4y2 = 4，记u)=x2 xy 4y2的最大值为M，最小4y2 =4，得 x2 4y2xy 4，2 2u = x xy 4y 2xy 4。5xy =4xy ( x 4 y - 4) = (x 2y? - 4_ -，当且仅当 x = -2y，2.10"V，10 亠 2 .10，或x w，y二-二0时等号成立。5xy的最小值为-，u = x2 xy 4y2512=2xy 4的最小值为，即12 m52 2 23xy =4xy _(x 4y _4)=4_(x_2y)<4，当且仅当x = 2y，26V，竽，y 于时等号成立。xy的最大值为，= x2 xy 4y2320二2xy 4的最大值为2°，20。M m倍旦耀。3515或解：由 x2 -xy 4y2 =4，得 x2 ' 4y2 二22xy 4， u 二 x xy 4y= 2xy 4。3设 xy =t，若 x = 0，贝i=4 ； x = 0时，x =-，将 y =-代入 x? _xy 4y 4 , tx即 x4 -(t 4)x? 4t? = 0 ,4由“(t 4) -16t -0，解得飞小3。将W代入方程，解得x?冷代入方程，解得x?44xy的最大值为-，最小值为-35因此,820M 4 =3381220 12m4， M m553513615、填空题(共5小题，每小题7分，共35 分)6.在平面直角坐标系内有两点 A(1,1)，B(2,3)，若一次函数y = kx + 2的图像与线段AB有公共点，则k的取值范围为【答案】-仁kJ2【解答】易得直线AB对应的一次函数的解析式为y=2x-1y _ 2x由 y "XT，得(k-2)x = -3 i y = kx+2依题意，方程有 仁x乞2的解。kZO，且仁二乞2，解得目。故k的取值范围为-仆弓或通过作图求解。7.如图，在厶ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点FBDAEAFBCADAC【答案】【解答】如图，过点C作CG / BF交AD的延长线于点AFAEACAGC又由 CG/ BE，知 DGC DEBDGDC3DE-DB 0237AG二 ADDG =：2DEDEDE。2 2AFAEDE2AC_ AG_ AG 。78 .设 x-i，X2，X3， Xn是n个互不相同的正整数,o且 x1 x2 x3 LCxn =2017，则 n的最大值是【答案】 63【解答】依题意，Xi _1，X2 _ 2， X3 _ 3， Xn _ n。2017 =论 x2 x3 Lxn_12 3 L n 二吃卫。2于是，2017 一叫，2<63。又当 xi =1 ,X2 = 2 ,X3=3，x6 = 62 , x6 = 64 时,XiX2 X3 L X62 X63 =12 3 L 6264=63 641 =2017。2所求n的最大值为63。如图，AB是的直径，AC是。O的切线，BC交于E点,若CAY，则AEAB【答案】、5由AB为OO的直径知， AE _ BC。设CE =m，则AB = 2 - 5m。【解答】OA =、5m，由条件易得 ACE BAE，BCE AE，AE2 =CE EB，即 AE2 =mEB。AE BE结合 AB2 二 AE2 EB2(或由射影定理得BA2EB2 mEB -20m2AE=2m， AE，得(2 -5m)2 =mEB EB2。BC，即(2 i 5m)2 = BE (BE m) 解得EB=4m或EB=-5m (舍去) 。-BE=0 ,2mAB 2、5m 53332- z =3xyz，则xyz的最大值为【答案】【解答】33x -y10.若正整数X , y , z满足方程组 x/yx =7(y+z)84由 x3 _ y3 _ z3 二 3xyz，得3 1 - 2 2 2-z 3xyz9(xyz)_(xy)(xz)(zy)结合 x， y，z 为正整数得，(x y)2 (x z)2 (z -y)2 0 ,于是 x - y- z =0。x2 =7x , x = 7 , y z = 7。当 x=7, y=3 , z=4 或 x=7, y=4 , z = 3 时，xyz 有最大值 84。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11 若关于x的方程x? _(a3)x a 一2 =0有两个不相等的整数根，求a的值【解答】设xi， x2是方程两个不相等的整数根，则Xi必2-3， XiX2=a-2 a -3， a2均为整数。因此，a为整数。 5分 = (a 一3)2 4(a -2) =a2 -10a -17 =(a -5)2 -8为完全平方数。设(a _5)2 -8 =t2 (t 为整数，且 t _0 )。贝U (a_5)2-t2=8。于是，(a_5_t)(a_5 t)=8。 10 分由于a-5-t， a-5，t奇偶性相同，且a-5-t_a-5，t。J_a -5 -tI a -5 t或tI a -5 t=2=415分20分a = 2 a = 8 解得或。11 = 1t = 1经检验a = 2， a = 8符合要求。 a=2 或 a=8。另解：设m，n ( m ： n )是方程两个不相等的整数根。m2 -(a -3)m a -2 =0 L L L 则2。n -(a -3) n a-2=0 LLL 两式相减，得(m -n)(m n) -(a -3)(m -n) =0。由 m：n，得 mn 二 a_3， a 二 m n3。 5 分将 a = m n 3代入，得 mn-m-n-1=0。 (m -1)(n -1) =2。 10 分m -1 二 一 2 m -1 二 1由于m，n为整数，且m ： n，因此，或口-1二-1|n-1=2吩'或n 二0m = 2n =315分当 m '时，a=m n 3 =2 ；n =0吩2时,n =3a =2或a =8。20分长为半径的圆与圆求证：（1）（2）【解答】（1）解法一:0的交点。AEDHCBF（第12题）ADHCBADHCF10分12. 如图，H为 ABC的垂心，圆0为厶ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH0的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆AC垂直平分线段HE ；DE =AB。如图，连结AH，AE，EC。由 H 为 ABC 的垂心知，.AHC . ABC =180。由 A、B、C、E 四点共圆，得.AEC . ABC =180 。5分又 CH =CE , CEH - CHE，.AEH AHE，AE 二 AH。10分 AC垂直平分线段HE。
