2024年中考数学二轮复习几何模型解读与提分精练 专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型（解析版）

1、资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题专题 13 全等模型全等模型-倍长中线与截长补短模型倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型模型 1.倍长中线模型倍长中线模型【模型解读】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】【常见模型及证法】1、基本型、基本型：如图 1，在三角形 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线.证明思路证明思路：延长 AD 至点 E，使得 AD=DE.若连结 BE，则BDECDA；若连结 EC，则ABDECD；2、中点型、中点型:如图 2，C为AB的中点.证明思路：证明思路：若延长EC至点F，使得CFEC，连结AF，则BCEACF;若延长DC至点G，使得CGDC，连结BG，

2、则ACDBCG.3、中点中点+平行线型：平行线型：如图 3,/ABCD，点E为线段AD的中点.证明思路：证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则EDCEAF.例 1（2023江苏徐州模拟预测）（1）阅读理解：如图，在ABC中，若8AB，5AC，求BC边上的中线AD的取值范围可以用如下方法：将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD，在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，180BD，CBCD，100BCD，以C为顶点作一个50的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）31322AD；（2）见详解；（3）EFBEDF，理由见详解【分析】（1）根据旋转的性质可证明ADCEDB，6,ACBEADED，在ABE中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长 FD 至 M，使

3、 DF=DM，连接 BM，EM，可得出CFBM，根据垂直平分线的性质可得出EFEM，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得NBCD，证明NBCFDC，得出,CNCFNCBFCD，利用角的和差关系可推出50ECNECF，再证明NCEFCE，得出ENEF，即可得出结论【详解】解：（1）,ADED CDBDADCBDE ADCEDB5,ACBEADED在ABE中根据三角形三边关系可得出：ABBEAEABBE，即3213AD31322AD故答案为：31322AD；（2）延长 FD 至 M，使 DF=DM，连接 BM，EM，同（1）可得出CFBM，,FDMD FDDEEFEM在BEM中，BEBMEMBECFEF；（3）EFBEDF，理由如下：延长 AB 至 N，使 BN=DF，连接 CN，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】180,180ABCDABCNBC NBCD NBCFDC,CFCNNCBFCD 100,50BCDFCE 50ECNECF NCEFCE（SAS）ENEFEFENBEBNBEDFEFBEDF【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角

4、形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图中结构相关的图形此题结构精巧，考查范围广，综合性强例 2（2023贵州毕节二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图 1，ABC 中，若 AB=5，AC=3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到点 E，使 DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程(2)如图 2，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 干 E，交 AD 于 F，且 AE=EF请判昕 AC 与 BF 的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 BE，在ADC 和EDB 中ADDEADCEDBCDDB，ADCEDB（SAS）BE=AC=3AB-BEAEAB+BE2AE8AE=2AD1AD4资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）AC=BF，理由如下：延长 AD 至点 G，使 GD=AD，连接 BG，在ADC 和GDB 中，ADDGADCGDBBDC

5、D，ADCGDB（SAS）BG=AC，G=DAC AE=EFAFE=FAE DAC=AFE=BFGG=BFGBG=BFAC=BF【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长 AD 到点 E，使 DE=AD，构造全等三角形是解题的关键例 3（2022山东安丘市一模）阅读材料：如图 1，在ABC中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 DE 到点 F，使EFDE，连接CF，证明ADECFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形即得证类比迁移类比迁移：（1）如图 2，AD 是ABC的中线，E 是 AC 上的一点，BE 交 AD 于点 F，且AEEF，求证：ACBF小亮发现可以类比材料中的思路进行证明证明：如图 2，延长 AD 至点 M，使MDFD，连接 MC，请根据小亮的思路完成证明过程方法运用方法运用：（2）如图 3，在等边ABC中，D 是射线 BC 上一动点（点 D 在点 C 的右侧），连接 AD把线段CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DE，F 是线段 BE 的中点，连接 DF、C

6、F请你判断线段 DF 与 AD 的数量关系，并给出证明【答案】（1）证明见解析；（2）2ADDF，证明见解析资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】(1)延长 AD 至 M，使MDFD，连接 MC，证明BDFCDM，结合等角对等边证明即可(2)延长 DF 至点 M，使DFFM，连接 BM、AM，证明(SAS)ABMACD，ABM 是等边三角形，代换后得证【详解】（1）证明：延长 AD 至 M，使MDFD，连接 MC在BDF和CDMV中，BDCDBDFCDMDFDM，BDFCDM，MCBF，MBFM，AEEF，EAFEFA，EFABFM，MMAC，ACMC，ACBF（2）线段 DF 与 AD 的数量关系为：2ADDF证明如下：延长 DF 至点 M，使DFFM，连接 BM、AM，如图 2 所示：点 F 为 BE 的中点，BFEF在BFM和EFD中，BFEFBFMEFDFMDF，(SAS)BFMEFDBMDE，MBFDEF，BMDE线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DECDDEBM，120BDE，18012060MBDABC是等边三角形ABAC，60ABCACB，606012

7、0ABMABCMBD18018060120ACDACB，ABMACD 在ABM和ACD中，ABACABMACDBMCD，(SAS)ABMACDAMAD，BAMCAD，60MADMACCADMACBAMBACAMD是等边三角形，2ADDMDF【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例 4（2022河南商丘一模）阅读材料如图 1，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 DE 到点 F，使 EFDE，连接 CF，证明ADECFE，再证四边形 DBCF是平行四边形即得证(1)类比迁移：如图 2，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AEEF，求证：ACBF小明发现可以类比材料中的思路进行证明证明：如图 2，延长 AD 至点 M，使 MDFD，连接 MC，请根据小明的思路完成证明过程(2)方法运用：如图 3，在等边ABC 中，D 是射线 BC 上一动点（

8、点 D 在点 C 的右侧），连接 AD把线段CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DEF 是线段 BE 的中点，连接 DF，CF请你判断线段 DF 与 AD 的数量关系，并给出证明；【答案】(1)见解析(2)线段 DF 与 AD 的数量关系为：AD2DF，证明见解析；【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论（1）证明：如图，延长 AD 至 M，使 MDFD，连接 MC，在BDF 和CDM 中，BDCDBDFCDMDFDM，BDFCDM（SAS），MCBF，MBFM，AEEF，EAFEFA，EFABFM，MMAC，ACMC，ACBF；（2）解：线段 DF 与 AD 的数量关系为：AD2DF，证明如下：延长 DF 至点 M，使 DFFM，连接 BM、AM，如图所示：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 F 为 BE 的中点，BFEF，在BFM 和EFD 中，BFEFBFMEFDFMDF，BFMEFD（SAS），BMDE，MBFDEF，BMDE，线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DE

9、，CDDEBM，BDE120，MBD18012060，ABC 是等边三角形，ABAC，ABCACB60，ABMABC+MBD60+60120，ACD180ACB18060120，ABMACD，在ABM 和ACD 中，ABACABMACDBMCD，ABMACD（SAS），AMAD，BAMCAD，MADMAC+CADMAC+BAMBAC60，AMD 是等边三角形，ADDM2DF；【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键模型模型 2.截长补短模型截长补短模型【模型解读模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证 2 次全等）。截长：截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】【常见模型及证法】（1）截长：）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：例：如图，求证 BE+DC=AD资料整理【淘

10、宝店铺：向阳百分百】方法：在 AD 上取一点 F，使得 AF=BE，证 DF=DC；在 AD 上取一点 F，使 DF=DC，证 AF=BE（2）补短）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：例：如图，求证 BE+DC=AD方法：延长 DC 至点 M 处，使 CM=BE，证 DM=AD；延长 DC 至点 M 处，使 DM=AD，证 CM=BE例 1（2023重庆九年级专题练习）如图，已知 ADBC，PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E，CE的连线交 AP 于 D求证：AD+BC=AB【答案】证明见解析【分析】如图，在AB上截取,AHAD证明,ADEAHE再证明,HBECBE可得,BCBH从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB上截取,AHADAE平分,DAB,DAEHAE,AEAE,ADEAHE,ADEAHE/,AD BC180,ADEBCE180,AHEBHE,BCEBHE BE平分,ABC,ABECBE,BEBE,HBECBE,BCBH,ABAHHB.ABADBC【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.例

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