2024年中考数学二轮复习几何模型解读与提分精练 专题15 全等与相似模型-手拉手模型（原卷版）

1、专题专题 15 全等与相似模型全等与相似模型-手拉手模型手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型模型 1.手拉手模型手拉手模型【模型解读模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。1 1）双等边三角形型）双等边三角形型条件：条件：如图 1，ABC 和DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 F。结论：结论：ACDBCE；BE=AD；AFM=BCM=60；CF 平分BFD。图 1图 22）双等腰直角三角形型）双等腰直角三角形型条件：条件：如图 2，ABC 和DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 N。结论：结论：ACDBCE；BE=AD；ANM=BCM=90；CN 平分BFD。3）双等腰三角形型）双

2、等腰三角形型条件：条件：ABC 和DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 F。结论：结论：ACDBCE；BE=AD；ACM=BFM；CF 平分BFD。图 3图 44 4）双正方形形型）双正方形形型条件：条件：ABCFD 和CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接 BG，ED 交于点 N。结论：结论：BCGDCE；BG=DE；BCM=DNM=90；CN 平分BNE。例 1（2022北京东城九年级期末）如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 为ABC 内一点，连接 AP，BP，CP，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AP，连接PPBP，（1）用等式表示BP与 CP 的数量关系，并证明；（2）当BPC120时，直接写出PBP的度数为；若 M 为 BC 的中点，连接 PM，请用等式表示 PM 与 AP 的数量关系，并证明例 2（2022黑龙江中考真题）ABC和ADE都是等边三角形(1)将ADE绕点 A 旋转到图的位置时，连接 BD，CE 并延长相交于点 P（点 P 与点 A 重合），有PAPBPC（或PAPCPB）成立；请证明(2)将ADE绕点 A 旋转到图的

3、位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE绕点 A 旋转到图的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明例 3（2022 湖北襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形(22OAOM=ON)，AOB=MON=90(1)如图，连接 AM，BN，求证：AOMBON；(2)若将MON 绕点 O 顺时针旋转，如图，当点 N 恰好在 AB 边上时，求证：22220BNANN；当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OB=4，ON=3，请直接写出线段 BN 的长例 4（2022重庆忠县九年级期末）已知等腰直角ABC与ADE有公共顶点,90,4,6ABACDAEABACADAE（1）如图，当点,B A E在同一直线上时，点F为DE的中点，求BF的长；（2）如图，将ADE绕点A旋转0360，点GH、分别是ABAD、的中点，CE交GH于M，交AD于N猜想GH与CE的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；参考图

4、，若K为AC的中点，连接KM，在ADE旋转过程中，线段KM的最小值是多少（直接写出结果）例 5（2022山西大同九年级期中）综合与实践：已知ABC是等腰三角形，ABAC（1）特殊情形：如图 1，当DEBC时，DB_EC（填“”“”或“”）；（2）发现结论：若将图 1中的ADE绕点A顺时针旋转（0180）到图 2 所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图 3，点P是等腰直角三角形ABC内一点，90BAC，且1BP，2AP，3CP，求BPA的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP绕点A顺时针旋转 90得到CAEV，连接PE，构造新图形解决问题请你根据小明的发现直接写出BPA的度数例 6（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图 1，若ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE 分别是底边.求证：BDCE；(2)解决问题：如图 2，若ACB和DCE均为等腰直角三角形，90ACBDCE

5、，点 A，D，E 在同一条直线上，CM 为DCE中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系并说明理由.图 1图 2例 7（2022广东广州市八年级期中）如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG，连结 AG，CE，二者相交于点 H（1）证明：ADGCDE；（2）请说明 AG 和 CE 的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结 AE 和 CG，请问ADE 的面积和CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由例 8（2023福建福州市九年级月考）如图，ABD和AEC均为等边三角形，连接 BE、CD（1）请判断：线段 BE 与 CD 的大小关系是；（2）观察图，当ABD和AEC分别绕点 A 旋转时，BE、CD 之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和 4，若四边形 ABCD、DEFG 都是正方形,猜想类似的结论是_,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与 EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形 AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个

6、全等三角形？模型模型 2.“手拉手手拉手”模型模型(旋转模型旋转模型)【模型解读与【模型解读与图示图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）手拉手相似模型（任意三角形）条件条件:如图，BAC=DAE=，ADAEkABAC；结论：结论：ADEABC，ABDACE；ECkBD.2）手拉手相似模型（直角三角形）手拉手相似模型（直角三角形）条件条件:如图，90AOBCOD，OCODkOAOB（即CODAOB）；结论：结论：AOCBOD；BDkAC，ACBD，12ABCDSABCD.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件条件:M 为等边三角形 ABC 和 DEF 的中点；结论：结论：BMECMF；3BECF.条件条件:ABC 和 ADE 是等腰直角三角形；结论：结论：ABDACE.手拉手相似证明题一般思路方法手拉手相似证明题一般思路方法:由线段乘积相等转化成

7、线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。例 1（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图 1，在ABC 中，AB6，AC5，点 D，E 分别在边AB，AC 上，且DEBC 数学思考：(1)在图 1 中，BDCE的值为；(2)图 1 中ABC 保持不动，将ADE绕点 A 按逆时针方向旋转到图 2 的位置，其它条件不变，连接 BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图 2 中，延长 BD，分别交 AC，CE 于点 F，P，连接 AP，得到图 3，探究APE 与ABC 之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转到图 4 的位置，连接 BD，CE，延长 BD 交 CE 的延长线于点 P，BP 交 AC 于点 F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出APE 与ABC 之间的数量关系例 2（2022山东济南八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问

8、题：(1)问题发现：如图 1，ABC中，90BAC，ABAC点 P 是底边 BC 上一点，连接 AP，以 AP 为腰作等腰RtAPQ，且90PAQ，连接 CQ、则 BP 和 CQ 的数量关系是_；(2)变式探究：如图 2，ABC中，90BAC，ABAC点 P 是腰 AB 上一点，连接 CP，以 CP 为底边作等腰RtCPQ，连接 AQ，判断 BP 和 AQ 的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图 3，在正方形 ABCD 中，点 P 是边 BC 上一点，以 DP 为边作正方形 DPEF，点 Q 是正方形 DPEF 两条对角线的交点，连接 CQ 若正方形 DPEF 的边长为10，2CQ，求正方形 ABCD 的边长例 3（2022四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图 1 的方式摆放，90ACBECD，随后保持ABC不动，将CDE绕点 C 按逆时针方向旋转（090），连接AE，BD，延长BD交AE于点 F，连接CF该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图 2，当EDBC时，则_

9、；(2)【初步探究】如图 3，当点 E，F 重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：_；(3)【深入探究】如图 4，当点 E，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4)【拓展延伸】如图 5，在ABC与CDE中，90ACBDCE，若BCmAC，CDmCE（m 为常数）保持ABC不动，将CDE绕点 C 按逆时针方向旋转（090），连接AE，BD，延长BD交AE于点 F，连接CF，如图 6试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由例 4（2021四川乐山中考真题）在等腰ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD（1）如图 1，若60C，点D关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE，则BDE_；（2）若60C，将线段AD绕点A顺时针旋转60得到线段AE，连结BE在图 2 中补全图形；探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图 3，若ABADkBCDE，且ADEC，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明例 5（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图 1，ABC 和ADE 都是等边三角

10、形，连接 BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图 2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABCADE90连接 BD，CE请直接写出BDCE的值(3)【拓展提升】如图 3，ABC 和ADE 都是直角三角形，ABCADE90，且ABBCADDE34连接 BD，CE求BDCE的值；延长 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G求 sinBFC 的值例 6.（2023四川成都九年级期中）如图 1，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F（1）证明：四边形 CEGF 是正方形；（2）探究与证明：将正方形 CEGF 绕点C 顺时针方向旋转角（045），如图 2 所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转角（045），如图 3 所示，当 B，E，F 三点在一条直线上时，延长 CG 交 AD 于点 H，若 AG9，GH32，求 BC 的长课后专项训练课后专项训练1（2022浙江温州一模）如图，在ABC 中以 AC，BC 为边向外作正方形 ACFG 与

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