六年级奥数蝴蝶模型
5页1、蝴蝶模型一、 蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中,两对角线将四边形分成四个三角形,两组相对三角形面积之积相等。推导:由等积变形模型可知: 二、 蝴蝶模型与梯形 推导: 同上 过点A作三角形ABC的高,过点D作 BCD的高 (两平行线之间高相等) 三、 蝴蝶模型与平行四边形(一) 推导: 同上 (同底等高) (二) 即:对角平行四边形面积乘积相等(在平行四边形ABCD内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF)推导:连接GE、EH、HF、FG,过点E作EM垂直于GH于点M 同理可得: 由蝴蝶定理可知: 四、 蝴蝶模型与长方形(一) (二) 即:对角长方形面积乘积相等五、 蝴蝶模型与正方形“子母图”两共线相邻的正方形 在上面两个图形中,每组正方形的对角线均互相平行,即a/b、c/d重要结论:两共线相邻的正方形对角线互相平行。例1:如下图所示,在梯形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,AOD的面积是6,AOB的面积是4,那么梯形ABCD的面积是多少?4BA分析:梯形ABCD是四个三角形面积的总和,现已经知道两个三角形的面积,由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积,进而可以求
2、出梯形ABCD的面积。O6解:由蝴蝶定理可知:SBOC=SAOD=6CD SDOC=664=9 梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25答:梯形ABCD的面积是25。例2:如图,求阴影部分的面积。(单位cm2)1228分析:由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”,可直接求出阴影部分的面积。6解:S阴影=28612=14(cm2)答:阴影部分的面积为14平方厘米。例3:下图是两个正方形,大正方形边长是8,小正方形边长是6,求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)AD分析:图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出,因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知,连接AC,所以AC平行于GE,由梯形的蝴蝶定理可知,三角形AOG和三角形COE面积相等,因此,阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积,即小正方形面积的一半。GF解:连接ACOACGEECB由梯形的蝴蝶定理可知:SAOG=SCOES阴=SCOE+SGOE=SGCE=1266=18(cm2)答:阴影部分的面积为18平方厘米。练习题1. 如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC,BD分成四个部分,AOB面积为1平方千米,BOC面积为2平方千米,COD的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成,则人工湖的面积是多少平方千米?2. 如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,求余下的四边形OFBC的面积。3. 如图,在长方形ABCD中,ABP的面积为30 cm2,CDQ的面积为80 cm2,求阴影部分的面积。4. 如图,四边形ABCG和CDEF都是正方形,DC等于12厘米,CB等于10厘米,求阴影部分的面积。
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