（江苏专用）高考数学总复习 第七篇 不等式《第41讲　基本不等式及其应用(1)》理（含解析） 苏教版

1、 A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号答案32若x1，则x的最小值为_解析xx11215，等号当且仅当x1，即x3时成立答案53(2011浙江)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，当xy时“”成立，所以xy的最大值为.答案4(2011临沂市检测)已知0ab，且ab1，则下列不等式：log2a0；2ab；2；log2alog2b2，其中正确的是_解析由0ab，且ab1，得0ab1，所以log2a0.易得ab1，所以2ab，由2，得24，由1ab2(ab)，得ab，所以log2alog2blog2ab2，仅正确答案5(2011日照市调研)在等式“1”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_解析设括号内填入的两个正整数为x，y，则有1，于是xy(xy)10102 16，当且仅当y29x2，即x4，y12时等号成立此时xy取最小值16.故应

2、填4和12.答案4和126(2011济南外国语学校检测)已知函数f(x)2x，f(a)f(b)8，若a0且b0，则的最小值为_解析因为f(a)f(b)2a2b2ab8，所以ab3，所以(ab)3，当且仅当b24a2，即a1，b2时等号成立，所以的最小值为3.答案37(2011南京学情分析)函数yloga(x1)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数ymxn的图象上，其中mn0，则的最小值为_解析ymxn过定点(2,1)，所以2mn1，所以(2mn)4428.答案8二、解答题(每小题15分，共45分)8对于任意xR，不等式2x2a30恒成立，求实数a的取值范围解原不等式可化为a2恒成立问题转化为求f(x)2 的最小值令u1而函数f(u)2u在1，)上单调递增，所以f(u)f(1)213，所以f(x)min3，故a3.9(2011宿迁联考)某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火

3、所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？(总损失灭火材料、劳务津贴等费用车辆、器械和装备费用森林损失费)解(1)t.(2)设总损失为y，则y灭火劳务津贴车辆、器械和装备费森林损失费y125tx100x60(500100t)125x100x30 0001 250100(x22)30 00031 450100(x2)31 450236 450.当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 450.10(2011苏州调研)有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l)而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长(1)求通过隧道的最低车速；(2)在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？解(1)依题意，设dkv2l，其中k是待定系数因

4、为当v60时，d1.44l，所以1.44lk602l.所以k0.000 4，则d0.000 4v2l.因为dl，所以0.000 4v2ll，所以v50.所以最低车速为50 km/h.(2)因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为(ld)m，一小时内通过汽车的数量为Q，即Q.因为0.000 4v2 0.04，所以Q.当0.000 4v，即v50时，Q取得最大值为.所以当v50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2011青岛质检)若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析因为2，所以|2a1|2，解得a.答案2已知0x，则函数y5x(34x)的最大值为_解析因为0x，所以x0，所以y5x(34x)20x202，当且仅当xx，即x时等号成立答案3(2011泰州模拟)已知正实数x，y，z满足2xyz，则的最小值为_解析因为x2，所以x22.答案4(2011南京模拟)若不等式4x29y22kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为_解析由4x29x22kxy(x0，y0)，得2

5、k.因为212，所以2k12，所以k3，即kmax3.答案35(2011南通调研)若实数x，y，z，t满足1xyzt10 000，则的最小值为_解析因为1xyzt10 000，所以2.当且仅当x1，yz100，t10 000时等号成立答案6(2011镇江统考)不等式a23b2b(ab)对任意a，bR恒成立，则实数的最大值为_解析因为要求的最大值，所以只需要考察b(ab)0的情况，假设b(ab)0，所以由a23b2b(ab)，得，不妨令t0，不妨令h(t)(t1)2222，当t1时取等号故的最大值为2.答案2二、解答题(每小题15分，共30分)7(2011苏北四市调研)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1；若在t(t0)天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a0)，存留量随时间变化的曲线如图所示当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若a1，t5，求“二次复习最佳时机点”；(2)若

6、出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围解设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y.由题意，得y2(xt)(t0)所以yy2y1(xt)(t4)(1)当a1，t5时，y(x5)121，当且仅当x14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天(2)y(xt)2，当且仅当，即x(t4)4时取等号，由题意，得(t4)4t，所以4a0，所以a的取值范围是(4,0)8(2011苏锡常镇扬五市调研)如图，ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中心，求此时小路的长度；(2)求的最小值解(1)因为E为AC的中点，所以AECE.因为34，所以点F不在BC上若点F在AB上，则AEAF3AE4AF3.所以AEAF5.所以AF4.在ABC中，cos A.在AEF中，EF2AE2AF22AEAFcos A2，所以EF.即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)(2)若小道的端点E、F都在两腰上，如图，设CEx，CFy，则xy5. 1111(当xy时取等号)若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AEx，AFy，则xy5.111(当xy时取等号)故最小值是.

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