(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第36练 直线与圆锥曲线问题 理
10页1、第36练直线与圆锥曲线问题题型一直线和椭圆的位置关系例1如图所示,椭圆C1:1(ab0)的离心率为,x轴被曲线C2:yx2b截得的线段长等于C1的短轴长C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.(1)求C1,C2的方程;(2)求证:MAMB;(3)记MAB,MDE的面积分别为S1,S2,若,求的取值范围破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程(2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的向量证明(3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值(1)解由题意,知,所以a22b2.又22b,得b1.所以曲线C2的方程:yx21,椭圆C1的方程:y21.(2)证明设直线AB:ykx,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知M(0,1)则x2kx10,(x1,y11)(x2,y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210,所以MAMB.(3)解设直线MA的方程:yk1x1,直线MB的方程:yk2x1,由(2)知k1k21,M(0,1),由解得或所以A(k1,k1)同理,可得B(k2,k1)故S
2、1MAMB|k1|k2|.由解得或所以D(,)同理,可得E(,)故S2MDME,则的取值范围是,)题型二直线和双曲线的位置关系例2已知双曲线C:x2y21及直线l:ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为,求实数k的值破题切入点(1)联立方程组,利用0求出k的取值范围(2)联立方程用根与系数的关系求解解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时,SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1x2时,SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|,(x1x2)2(2)2,即()28,解得k0或k.又k0,b0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e,且SABF1.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程;(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是,试求出该
3、点的坐标,如果不是,请说明理由破题切入点(1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程(2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决解(1)在双曲线中,c,由e,得,解得ab,故c2b.所以SABF(ca)b(2bb)b1,解得b1.所以a,c2,其上焦点为F(0,2)所以双曲线M的方程为x21,抛物线N的方程为x28y.(2)由(1)知抛物线N的方程为yx2,故yx,抛物线的准线为y2.设P(x0,y0),则x00,y0x,且直线l的方程为yxx0(xx0),即yx0xx.由得所以Q(,2)假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,也就是0对于满足y0x(x00)的x0,y0恒成立由于(x0,y0y1),(,2y1),由0,得x0(y0y1)(2y1)0,整理得2y0y0y12y1y0,即(y2y18)(2y1)y00,(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的x0,y0恒成立,所以解得y12.故以PQ
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