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(江苏专用)高考数学二轮复习 专题检测27 立体几何中的计算问题

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    • 1、27立体几何中的计算问题1(2014大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为_答案解析如图,设球心为O,半径为r,则RtAOF中,(4r)2()2r2,解得r,所以,该球的表面积为4r24()2.2(2014福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_答案2解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1,高h1,所以侧面积S2rh2.3(2013辽宁改编)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3,AC4,ABAC,AA112,则球O的半径为_答案解析因为ABAC,且AA1底面ABC,将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线l 2R,R.4在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_答案60解析取BC中点E,连结AE,则AE平面BCC1B1,故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为a,则AEa,DEa.tanADE.ADE60.5.如图,四棱锥PABCD

      2、的底面是一直角梯形,ABCD,BAAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为_答案平行解析取PD的中点F,连结EF,在PCD中,EF綊CD.又ABCD且CD2AB,EF綊AB,四边形ABEF是平行四边形,EBAF.又EB平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD.6已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和球O2的表面积之和的最小值为_答案(63)解析设球O1,O2的半径分别为r1,r2,由题意知O1AO1O2O2C1,而O1Ar1,O1O2r1r2,O2C1r2,r1r1r2r2.r1r2,从而S1S24r4r4(rr)4(63).7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,点E为AD的中点,点F在CD上若EF平面AB1C,则线段EF的长度为_答案解析在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AC2.又E为AD的中点,EF平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC平面AB1CAC,EFAC,F为DC的中点,EFAC

      3、.8(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由,得,则.由圆柱的侧面积相等,得2r1h12r2h2,即r1h1r2h2,所以.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P),则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为_答案解析折成的正四面体如图所示,连结HE,取HE的中点K,连结GK,PK,则GKDH,故PGK即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2,在PGK中,PG,GK,PK ,故cosPGK.即异面直线PG与DH所成角的余弦值为.10. (2013安徽)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时,S为四边形;当CQ时,S为等腰梯形;当CQ时,S与C1D1的交点R满

      4、足C1R;当CQ1时,S为六边形;当CQ1时,S的面积为.答案解析当0CQ时,如图(1)在平面AA1D1D内,作AEPQ,显然E在棱DD1上,连结EQ,则S是四边形APQE.当CQ时,如图(2)显然PQBC1AD1,连结D1Q,则S是等腰梯形当CQ时,如图(3)作BFPQ交CC1的延长线于点F,则C1F.作AEBF,交DD1的延长线于点E,D1E,AEPQ,连结EQ交C1D1于点R,RtRC1QRtRD1E,C1QD1EC1RRD112,C1R.当CQ1时,如图(3),连结RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.当CQ1时,如图(4)同可作AEPQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,S为菱形APQM,其面积为MPAQ.11已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?解(1)作圆锥的轴截面,如图所示设内接圆柱的半径为r.因为,所以rRx,所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH)(2)因为0,所以当x时,S圆柱侧最大故当x,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大12(2014北京)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥EABC的体积(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BCB,所以AB平面B1BCC1,又因为AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G,连结EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FGAC.因为ACA1C1,且ACA1C1,所以FGEC1,且FGEC1,所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2,BC1,ABBC,所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.

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