（江苏专用）高考数学总复习 第十篇 圆锥曲线与方程《第61讲　直线与圆锥曲线》理（含解析） 苏教版

1、 A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1已知直线ykx1与椭圆1(a0)相切，给出下列k，a之间的关系_4a4k21；4k2a1；a4k21；a4k21.其中正确的是_(填序号)解析由得(4k2a)x28kx4(1a)0.直线与椭圆相切，0，即64k24(4k2a)4(a1)0.a4k21.答案2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有_条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)答案33过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知：ABAFBFx1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此M到抛物线准线的距离为1.答案4设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_解析双曲线1的一条渐近线为yx

2、，由方程组消去y得，x2x10有唯一解，所以240，2，e .答案5若斜率为1的直线l与椭圆y21交于不同两点A、B，则AB的最大值为_解析设直线l的方程为yxt，代入y21消去y得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t25，弦长AB.答案6已知双曲线方程是x21，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是_解析设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x1，x1，得k4，从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510，0，故此直线满足条件答案4xy707(2011苏州调研)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_解析由题意知，抛物线的方程为x24y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，联立方程得，两式相减得xx4(y1y2)，1，直线l的方程为y2(x2)，即yx.答案xy0二、解答题(每小题15分，共45分)8已知直线l的方程为x2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2y21

3、与x轴交于A，B两点(1)过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的，求直线l1的方程；(2)求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程解(1)由题意知POQ，点O到直线l1的距离为.设l1的方程为yk(x2)，k2.l1的方程为y(x2)(2)设椭圆方程为1(ab0)，半焦距为c，则2.椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a1或b1.当a1时，c，b2a2c2，则椭圆方程为x21；当b1时，c1，a22，则椭圆方程为y21.故所求椭圆方程为x21或y21.9设A、B分别为椭圆1(a，b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x4为它的右准线(1)求椭圆的方程；(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内解(1)依题意得a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为1.(2)由(1)得A(2,0)，B(2,0)设M(x0，y0)M点在椭圆上，y0(4x)又点M异于顶点A、B，2x02，由P、A、M三点共线可以得P.从而(x02，y0)，.2x04(x43y)将代入

4、，化简得(2x0)2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角故点B在以MN为直径的圆内10(2011苏锡常镇调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1)求椭圆E的方程及圆O的方程；(2)若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值，且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上解(1)因为e，所以ac，因为a2b2c2，所以bc.因为1过点P(2，)，所以1，解得a28，b2c24.所以椭圆的方程为1.因为A(4,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为yx2，即x2y40，则O到AB的距离d，所以圆O的半径r2.所以圆O的方程为x2y24.(2)椭圆E的右准线的方程为x4.设l上取定的点M为(4，t)，圆O上的任意一点N为(x0，y0)，定点Q为Q(x，y)因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M，所以NQ2NM2，是正的常数(1)即(x0x)2(y0y)2(x04)2(y0t)2，xy2xx02yy0x2y2(xy16t28x0

5、2ty0)将xy4代入有2xx02yy0x2y248x02ty0(20t2)，因为有无数组(x0，y0)，从而由式代入式得162t224(20t2)，即(16t2)2(20t2)40，所以(1)(16t2)40.因为1，所以.即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值又16t2，代入得x2y24，即x2y24，于是x2y2x，即2y2.故点Q在圆心，半径为的定圆上B级综合创新备选 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1已知A，B为抛物线C：y24x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线AB的斜率为_解析由题意知焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x中化简得ky24y4k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2y1y24又由4可得y14y2联立式解得k.答案2已知F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是_解析ABF2为锐角三角形，又AF1

6、，F1F22c，tanAF2F1tan 451，b22ac，c2a22ac，e22e10，解得1e1.又e1，1e1.答案(1,1)3(2011苏北四市三调)已知点A(0,2)，抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则p_.解析依题意，设点B，点F，M，则，.由得(2)(y12)0，即yy1p20.由AMMF得y1(y12)0，即y2y10，由得y1，把代入，解得p.答案4过椭圆1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AMMB，则该椭圆的离心率为_解析由题意知A点的坐标为(a,0)，l的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2，c22b2，e.答案5已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为，直线l：yx2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，则椭圆C1的方程为_解析e，e22，2a23b2.直线l：xy20与圆x2y2b2相切，b，b，b22，a23，椭圆C1的方程是1.答案16已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相

7、交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则xx的最小值是_解析设过点P的直线为yk(x4)，当k不存在时，A(4,4)，B(4，4)，则xx32，当k存在时，有k2x2(8k24)x16k20，则x1x28，x1x216，故xx(x1x2)22x1x23232，故(xx)min32.答案32二、解答题(每小题15分，共30分)7已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4xy200.(1)求抛物线C的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足POOQ，证明：直线PQ过定点(1)解设抛物线C的方程为y22mx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2y2my20m0，0，m0或m160.解得y1,2，则y1y2，x1x210.再设A(x3，y3)，由于ABC的重心为F，则解得点A在抛物线上，22m.m8，抛物线C的方程为y216x.(2)证明当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为ykxb，显然k0，b0，POOQ，kPOkOQ1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，xPxQyPyQ0，将直线ykxb代入抛物线方程，得ky216y16b0，yPyQ.从而xPxQ，0，k0，b0，直线PQ的方程为ykx16k，PQ过点(16,0)；当PQ的斜率不存在时，显然PQx轴，又POOQ，POQ为等腰三角形，由得P(16,16)，Q(16，16)，此时直线PQ过点(16,0)，直线PQ恒过定点(16,0)8(2011苏州调研)如图，椭圆1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B、C两点(1)若，求实数的值；(2)设点P为ACF的外接圆上的任意一点，当PAB的面积最大时，求点P的坐标解(1)由条件，得F(1,0)，A(0，)，直线AF的斜率k1.因为ABAF，所以直线AB的斜率为.则直线AB的方程

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