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专题三——利用勾股定理求最值（初中-学生版）

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常见问题

1、专题三利用勾股定理解决最值问题类型1平面上的最短路径问题（将军饮马问题）例1如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC400米，BD200米，CD800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，则在何处饮水能使所走的总路程最短，最短的路程是 1000 米类型2几何体中的最短路径问题（两点间线段最短）几何体中最短路径基本模型如下：圆柱长方体阶梯问题基本思路将立体图形展开成平面图形利用两点之间线段最短确定最短路线构造直角三角形利用勾股定理求解.类型一化曲为直求最值1. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺2. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上如果把树干看成圆柱，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是 2.6 m.

2、3. 如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，已知PC=BC，则最短路线长为 13 cm.4. 如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁距，上边沿4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向。上爬了3cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少需要爬行的距离是 20cm .(容器厚度忽略不计)5. 如图，有一个圆柱形的油桶，它的高是80cm，底面直径是50cm。在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点在同侧的B点处的食物，但由于A、B两点间有障碍，不能直接到达，蚂蚁只能沿桶壁爬行，经过CD上一点，再爬向B点，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 170cm (r取整数3).6. 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗?阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗?7. （1）如图，如果树的周长为3cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4cm，则它

3、爬行路程是多少厘米?8. （2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米?如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？答案：（1）5cm；（2）60cm类型二化折为直求最值9. 如图，长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm，若用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为 13 cm.10. 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 25 cm.11. 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8 dm，3 dm，2 dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 17dm .12. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD80 cm，高AB60 cm，水深AE40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行

4、才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；（2）蚂蚁爬行的最短路线长为 100 cm.13. 如图，在一个长为20米、宽为18米的矩形草地.上放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 30 .14. 如图，在一棵树的10米高的B处有两只猴子，为了抢吃池塘边的水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跳到A处，距离以直线计算如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 15 米15. 如图，长方体敞口的玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一，只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是 .类型三利用对称求最值16. （1）如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE=3，AE=1，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是 5 .（2）如图，ABC中，AC=BC=13，CD为ABC的中线CD=12，点E、点F分别为线段CD、CA.上的动点，连接AE、EF，则

5、AE+EF的最小值为 .变式练习1-1：（1）如图，RtABC中，ABC中，ABC=90，AB=BC=8，M在BC上，且BM=2，N是AC上一动点，则BN+MN的最小值为 10 .（2）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6,BC=8，AD是BAC的平分线.若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 .类型四胡不归问题17. 如图，正ABC中，BC10，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，求的最小值。答案：18. 如图，在正ADB中，E为线段CD的中点，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP.（1）求的最小值；（2）求的最小值。答案：（1）；（2）类型五其他类型19. 如图，MON=90，已知ABC，AC=BC=5，AB=6，ABC的顶点A、B分别在边OM、ON，上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为 7 .20. 如图，在ABC中，AB=CB，AC=10，SABC=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AFCE于F，连结BF，则BF的最小值是 7 21. 如图，在ABC中，B=45，AB=，BC=，在等腰直角DAE中，DAE=90，且点D是边BC上一点.（1）求AC的长；（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离；（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值. 答案：（1）4；（2）；（3）

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