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几何最值之胡不归

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常见问题

1、几何最值之胡不归从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了两点之间线段最短，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DGAE于点G，则，将转化为DGDB，再过点B作BHAE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DGDB的最小值为BH，综上，所需时间的最小值为，少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.例1：如图，P

2、为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，求APBPCP的最小值.【解答】【解析】连接AC，作DBE30，交AC于点E，过点A作AFBF，垂足为F，如图所示：在RtPBF中，PBF30，的最小值即为线段AF的长。在ABF中，BAE45，ABE75，AEB60，解得，通过面积法可得，求得，APBPCP的最小值是.例2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB6，.求sinEAD的值；若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.【解答】（1）见解析；（2），【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ACBD，AC与BD交于点O，且COD、CED关于CD对称，DOOC，DOED，OCCE，DOOCCEED，四边形OCED是菱形；（2）设AE交CD于点K，四边形OCED是菱形，DEAC，DEOCOA，又ABCD6，DK2，CK4，在RtADK中，；作PFAD于点F，易得，点Q的运动时间，当O、P、F三点共线且OFAD时，OPPF的值最小，此时OF是ACD的中位线，.综上，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短，AP的长为，点Q走完全程需要的时间为3s.

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