第六章 空间解析几何与向量代数

第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 数量积、向量积数量积、向量积 第三节第三节 平面与直线平面与直线 第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线第六章 空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、一、向量的基本概念向量的基本概念现实世界中,我们会遇到两类量,一类是数量,如长度、温度、质量等,它们只有大小.而在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到另外一类量,它们既有大小,又有方向,这类量称为向量(或矢量),如物理学中的力、速度、加速度、位移等(见图6.1).第六章 空间解析几何与向量代数图6.1 向量的图示第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数相反向量:设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫作a的相反向量,记为-a.共线向量:平行于同一直线的向量组称为共线向量组.即向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点会在一条直线上.共面向量:平行于同一平面的向量组称为共面向量组.即把一组向量的起点放在同一点时,向量组的终点和公共起点会在一个平面上.第六章 空间解析几何与向量代数二、二、向量的线性运算向量的线性运算1.向量的加法向量的加法向量的加法:设有两个向量a 与b,平移向量使b 的起点与a 的终点重合,此时从a 的起点到b 的终点的向量c称为向量a 与b 的和,记作a+b,即c=a+b.三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫作向量加法的三角形法则(见图6.2).平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时,平移向量使a 与b 的起点重合,以a、b 为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a+b(见图6.3).第六章 空间解析几何与向量代数图6.2 向量的三角形法则图 图6.3 向量的平行四边形法则图第六章 空间解析几何与向量代数向量加法的运算规律:(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n 个向量a1,a2,an(n3)相加可写成a1+a2+an按向量相加的三角形法则,可得n 个向量相加的法则如下:将前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.第六章 空间解析几何与向量代数2.向量的减法向量的减法如图6.4所示,我们规定两个向量b 与a 的差为b-a=b+(-a)即把向量-a 加到向量b 上,便得b 与a 的差b-a.图6.4 向量的减法图第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数3.向量与数的乘法向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数 的乘积记作a,规定a 是一个向量,它的模|a|=|a|,当0时,它的方向与a 相同,当0时,它的方向与a 相反.当=0时,|a|=0,即a 为零向量,这时它的方向可以是任意的.特别地,当=1时,有第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数图6.5 三角形中线图第六章 空间解析几何与向量代数例例2 用向量法证明:连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半(见图6.6).证证 设ABC 两边AB,AC 中点分别为M、N,则第六章 空间解析几何与向量代数图6.6 三角形中位线图第六章 空间解析几何与向量代数定理定理1 设向量a 0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数,使b=a.证明证明 条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数三、三、空间直角坐标系空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴,依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz 坐标系.注:(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线;(3)数轴的的正向通常符合右手规则.在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.第六章 空间解析几何与向量代数x 轴及y 轴所确定的坐标面叫作xOy 面,另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫作卦限,含有三个正半轴的卦限叫作第一卦限,它位于xOy 面的上方.在xOy 面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy 面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用、表示(见图6.7).第六章 空间解析几何与向量代数图6.7 空间直角坐标系第六章 空间解析几何与向量代数四、四、利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数五、五、向量的模、向量的模、方向角、方向角、投影投影1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数2.向量的夹角、方向角与方向余弦向量的夹角、方向角与方向余弦1)向量的夹角与方向角当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角,记作.如果向量a 与b 中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.非零向量r与三条坐标轴的夹角、称为向量r的方向角.第六章 空间解析几何与向量代数2)向量的方向余弦第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数投影的性质:第六章 空间解析几何与向量代数第二节第二节 数量积、数量积、向量积向量积第六章 空间解析几何与向量代数定义定义1(数量积数量积)对于两个向量a 和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积,记作ab,即第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数3)数量积的运算律(1)交换律ab=ba.(2)分配律(a+b)c=ac+bc.(3)结合律(a)b=a(b)=(ab),(a)(b)=(ab),、为数.分配律(a+b)c=ac+bc的证明如下:因为当c=0时,上式显然成立;当c0时,有第六章 空间解析几何与向量代数例例1 试用向量证明三角形的余弦定理.第六章 空间解析几何与向量代数图6.9 余弦定理图第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数图6.10 向量的乘积力矩图第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数1)向量积的性质(1)aa=0;(2)对于两个非零向量a、b,如果ab=0,则ab;反之,如果ab,则ab=0.如果认为零向量与任何向量都平行,则ab ab=0.2)向量积的运算规律(1)反交换律:ab=-ba;(2)分配律:(a+b)c=ac+bc;(3)(a)b=a(b)=(ab)(为常数).第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第三节第三节 平平 面面 与与 直直 线线一、一、平面的点法式方程平面的点法式方程定义定义1(法向量法向量)如果一非零向量垂直于一平面,这个向量就叫作该平面的法向量.容易知道,平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数二、二、平面的一般方程平面的一般方程由于平面的点法式方程是x,y,z 的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数下面讨论平面方程Ax+By+Cz+D=0,指出法向量与坐标面、坐标轴的关系,平面通过的特殊点或坐标轴.+By+Cz+D=0,指出法向量与坐标面、坐标轴的关系,平面(1)D=0,平面过原点.(2)A、B、C 中有一个为0,如A=0,若D=0,则平面过x 轴;若 D0,则平面平行x 轴.(3)A、B、C 中有两个为0,如B=C=0,若D=0,则平面就是yOz 坐标面;若D0,则平面平行于yOz 坐标面.第六章 空间解析几何与向量代数例例3 求通过x 轴和点(1,2,-1)的平面的方程.解解 平面通过x 轴,由前面的讨论知,一方面法向量垂直于x 轴,即A=0;另一方面表明它必过原点,即D=0.因此可设该平面的方程为又因为这平面通过点(1,2,-1),所以有或 将其代入所设方程并除以B(B0),便得所求的平面方程为第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数四、四、空间直线的一般方程空间直线的一般方程由立体几何知道,两平面相交,决定唯一的一条直线.如果两个相交平面1和2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,那么交线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程,即应满足方程组反过来,如果点 M 不在交线L 上,那么它不可能同时在平面1和2上,所以它的坐标不满足方程组.因此,交线L 可以用方程组来表示.方程组叫作空间直线的一般方程。第六章 空间解析几何与向量代数设直线L 是平面1 和 2 的交线,平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,那么点 M 在直线L 上当且仅当它同时在这两个平面上,当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程,即满足方程组因此,直线L 可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间直线的一般方程.通过空间一直线L 的平面有无限多个,只要在这无限多个平面中任意选取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表示空间直线L.第六章 空间解析几何与向量代数五、五、空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程由欧几里德的第五公设知,过一点作一条已知直线的平行线,有且仅有一条.由此,可以确定直线的方程.方向向量:如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫作这条直线的方向向量.容易知道,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数六、六、两直线的夹角两直线的夹角两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫作两直线的夹角.第六章 空间解析几何与向量代数从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论:第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下,如果曲面S与三元方程第六章 空间解析几何与向量代数有下述关系:(1)曲面S 上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0.那么,方程F(x,y,z)=0就叫作曲面S 的方程,而曲面S 就叫作方程F(x,y,z)=0的图形.第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数研究曲面的两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立此曲面的方程;(2)已知坐标x、y 和z 间的一个方程时,研究此方程所表示的曲面的形状第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数二、二、柱面柱面第六章 空间解析几何与向量代数图6.11 柱面生成图第六