6第六讲-解析几何-文科

1、第六讲 解析几何(文)第一节 曲线与方程 曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间. 考试要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.题型一 曲线与方程 例 设集合非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题：曲线上的点的坐标都满足方程；坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；坐标满足方程的点都不在曲线上；一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是( ). A. B. C. D. 点拨：直接用定义进行判断. 解：“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,错；若满足方程的只有一解,则错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,错.故选A. 易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它

2、选项. 变式与引申A.C.B.D.图.方程的曲线形状是( ).2.已知定点不在直线：上,则方程表示一条( ). A.过点且平行于的直线 B.过点且垂直于的直线 C.不过点但平行于的直线 D.不过点但垂直于的直线 题型二 代入法(相关点法)求曲线方程 例 已知点,点、分别在轴、轴上,且,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程. 点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程. 解：设,又,则,.由,得 .由,得,即,代入得,即,当时,三点、重合,不满足条件,故点的轨迹方程为. 易错点：忽视轨迹方程中的. 变式与引申3.已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.题型三 待定系数法、直接法求曲线方程 例 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和. 求椭圆的方程； 若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(为椭圆的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 点拨：问题用待定系数法求椭圆的方程；问题将点、的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量的取值

3、范围. 解：设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,.故椭圆的标准方程为. 设,其中.由已知得,而,.由点在椭圆上,得,代入上式并化简得,故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段. 易错点： 第小问中未注意到点与的坐标关系,会造成求点轨迹方程的思路受阻；忽视变量的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断. 变式与引申4.已知椭圆：的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切. 求椭圆的方程； 设该椭圆的左、右焦点分别为、,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂直,交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题 例 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距的、两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到、两点的距离之和不超过的区域.求考察区域边界曲线的方程；如图所示,设线段是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的倍.问：经过多长时间,点恰好在冰川边界线上

4、？川冰已融化区域图 点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列求和公式等知识能使第小问获解. 解：设考察区域边界曲线上点的坐标为.则由知,点在以、为焦点,长轴长为的椭圆上,此时短半轴长,故考察区域边界曲线的方程为. 易知过点、的直线方程为,点到直线的距离.设经过年,点恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得,解得.故经过年,点恰好在冰川边界线上. 易错点：不能正确建立应用题的数学模型；数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.图 变式与引申5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点、同时跟踪航天器. 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； 试问：当航天器在轴上方时,观测点、测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？本节主要考查： 知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程； 依据动点轨迹的几何

5、条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题； 求曲线(轨迹)方程时：恰当建立坐标系,使所求方程更简单； 利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程. 解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.点评： 求曲线(轨迹)方程的常用方法有： 直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立,之间的关系(如例第问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)； 待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例第问)； 定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例)； 代入法(相关点法)：有些问题中,动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,并且点在某已知的曲线上,这时可先用、的代数式来表示、,再将、的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例及

6、变式). 要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答. 在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.习题6-1.方程的曲线是( ). A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 D.两条直线.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为.3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为. 求椭圆的标准方程； 过点的直线与该椭圆交于、两点,且,求直线的方程.4（2011高考江西卷文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值第二节 圆锥曲线 圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线

7、等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间. 考试要求 了解圆锥曲线的实际背景；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；了解圆锥曲线的简单应用；掌握数形结合、等价转化的思想方法.题型一 圆锥曲线的定义及应用 例 已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为. 已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则. 点拨：题可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值. 解：设椭圆右焦点为,则,.又 (当、共线时等号成立).又,.故的最大值为,最小值为. 依题意有,解得.、在双曲线的左支上,.又,.,即. 易错点：在本例的两个小题中,正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关

8、系容易出现解题错误；由、三点共线求出的最值也是值得注意的问题. 变式与引申1.已知为抛物线上任一动点,记点到轴的距离为,对于给定的点,的最小值为( ). A. B. C. D.2.设、分别是椭圆：的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,且是与的等差中项,则.题型二 圆锥曲线的标准方程例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.图 求椭圆的离心率； 设,又,为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程. 点拨：问题：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,进而求出的离心率；问题：利用问题的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程. 解：抛物线经过椭圆的两个焦点,即,椭圆的离心率. 由可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程,得,解得或(舍去),即,的重心坐标为.重心在上,得.抛物线的方程为,椭圆的方程为. 易错点：忘记用第小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标. 变式与引申3.求经过两点和的椭圆的标准方程.4.已知椭圆与直线相交于、两点,是的中点,若,的斜率为,求椭圆的方程.题型三 圆锥曲线的几何性质图 例 如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点. 若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)； 若,且,求椭圆的离心率的取值范围. 点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识

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