第二章 母函数及其应用
第二章 母函数及其应用第二章第二章 母函数及其应用母函数及其应用2.1 母函数母函数2.2 母函数的性质母函数的性质 2.3 指数型母函数指数型母函数 2.4 正整数的分拆正整数的分拆 第二章 母函数及其应用在第一章中,已经解决了部分排列组合方案的计数问题.但对于不尽相异元素的部分 排列和组合,用第一章的方法是比较麻烦的(参见表2.0.1).若改用母函数方法,问题将显 得容易多了.其次,在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时,母函数方法是 一种非常重要的手段.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.1 母母 函函 数数定义定义 2.1.1 对于数列an,称无穷级数为该数列的普通型母函 数,简称普母函数或母函数,同时称an为G(x)的生成数列.第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.1】有限数列C(n,r),r=0,1,2,n 的普母函数是(1+x)n.【例【例 2.1.2】无限数列1,1,1,的普母函数是第二章 母函数及其应用说明说明(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;(2)数列an与母函数一一对应,即给定数列便得知它的母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有关运算性质完成计数问题,故不考虑“收敛问题”,即始终认为它是收敛的,而且是可“逐项微分”和“逐项积分”的.表2.1.1是一些常用的母函数,它们的证明只要利用解析函数展开成幂级数的方法即 可得到.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用定理定理 2.1.1 组合的母函数:设S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,则S 的r 可重组合的母函数为其中,r 可重组合数为xr 之系数ar,r=0,1,2,n.第二章 母函数及其应用定理2.1.1的最大优点在于:(1)将无重组合与重复组合统一起来处理;(2)使处理可重组合的枚举问题变得非常简单.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用推论推论6 设S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,要求元素ei 至少出现ki 次,则S 的r 可重组合的母函数为第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.3】设有2个红球,1个黑球,1个白球,问:(1)共有多少种不同的选取方法.试加以枚举.(2)若每次从中任取3个,有多少种不同的取法.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.4】有18张戏票分给甲、乙、丙、丁4个班(不考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多少种不同的分配方案?第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.5】从n 双互相不同的鞋中取出r 只(rn),要求其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用这实际上是一种二次分配二次分配问题.即将r 个相同的球放入n 个不同的盒子,第i个盒子 最多放ti 个球,而该盒子又分为ni 个相异的格子,每个格子最多只能放一个球,故还需要 进行二次分配.如果第i个盒子中放进了ri 个球,那么,对该盒子而言,二次分配时的方 案数为 .例如,设甲、乙、丙3个班分别有30、28、22名学生,现把5本相同的书分给甲、乙、丙3个班,再发到个人手上,每人最多发一本.考虑将分给某班的某本书发给该班的同学 A 与将其发给同学B 被认为是不同的分法,而且甲、乙两班最少1本,甲班最多5本,乙 班最多6本,丙班最少2本,最多9本,问共有多少种不同的分配方案.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.6】甲、乙、丙3人把n(n3)本相同的书搬到办公室,要求甲和乙搬的本数一样多,问共有多少种分配的方法.解解 本问题即组合问题:从集合S=e1,e2,e3中可重复地选取n 个元 素,但要求e1 与e2 的个数一样多,求不同的选取方案数.设想当n=1时,其分法只有1种,即甲和乙都分0本,丙分1本.当n=2时,其分法有2种:甲和乙都分0本(丙分2本)或甲和乙都分1本(丙分0 本).当n=3时,也是2种分法.当n=4或5时,分法为3种:即甲和乙都分0本、1本或2本第二章 母函数及其应用一般情形,甲分k 本,乙也必须分k 本,丙就只能分n-2k 本.考虑将分配过程分为3 步实现.第一步先选出2k 本书,第二步将选出的书分给甲、乙各一半,第三步将剩下的书 全分给丙.由于第二步属于二次分配,且只有一种分法,故可以将甲和乙视为一人,从而把 问题转换为:将n 本相同的书分给两个人,其中一人分得偶数本,求分配方法数.显然,本 问题的母函数为第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.7】证明组合等式证证 本例是母函数的另一种应用.意图说明普母函数除了能用于解决组合的求值问题 之外,还能用来证明很多组合等式.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用(3)因为第二章 母函数及其应用2.2 母函数的性质母函数的性质由于母函数与它的生成数列之间是一一对应的,因此,若两个母函数之间存在某种关 系,则对应的生成数列之间也必然存在相应的关系.反之亦然.利用这类对应关系,常常能 帮助我们构造出某些指定数列的母函数的有限封闭形式.特别地,还能得到一些求和的新 方法.设数列ak、bk、ck的母函数分别为A(x)、B(x)、C(x),且都可逐项微分和积 分第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.3 指数型母函数指数型母函数第二章 母函数及其应用但是,注意到n 集的r 无重排列数和r 无重组合数之间有如下关系:从而有第二章 母函数及其应用定义定义 2.3.1 对于数列ak=a0,a1,a2,把形式幂级数称为数列ak的指数型母函数指数型母函数,简称为指母函数指母函数,而数列ak则称为指母函数Ge(x)的生成序列生成序列.第二章 母函数及其应用说明说明(1)ak的非零值可以为有限个或无限个.(2)数列ak与母函数一一对应,即给定数列便得知它的指母函数;反之,求得指母 函数则数列也随之而定.(3)这里将指母函数只看做一个形式函数,目的是利用其有关运算性质完成计数问 题,故不考虑“收敛问题”,即始终认为它是收敛的,而且是可“逐项微分”和“逐项积分”的.第二章 母函数及其应用(4)相应于同一数列ak,一般G(x)Ge(x).第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用定理定理 2.3.1 设重集S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,则 S 的r 可重排列的指母函数为其中,r 可重排列数为xr/r!之系数ar,r=0,1,2,n.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.1】盒中有3个红球,2个黄球,3个蓝球,从中取4个球,排成一列,问共有多少种不同排列方案.所以,从中取4个球的排列方案有70种.第二章 母函数及其应用类似于组合问题,令即对全部排列方案进行分类枚举.可以看出,取1个球的3种排列方案为红、黄、蓝各分别 取1个.取2个球的9种排列方案为:红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄.其它情形依此类推.第二章 母函数及其应用这里需要说明的是:(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,则无法表示出来 了.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用推论推论 1 若S=e1,e2,en,则r 无重排列的指母函数为第二章 母函数及其应用推论推论 2 若S=e1,e2,en,则r 无限可重排列的指母函数为排列数为nr第二章 母函数及其应用推论推论 3 S=n1e1,n2e2,nm em,元素ei 至少取ki 个(ki0),则有推论推论 4 S=n1e1,n2e2,nm em,令r=n,即得全排列数第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.2】五个数字1,1,2,2,3能组成多少个四位数?由a4=30知能组成30个四位数.同时还知道能组成3个一位数,8个两位数,18个三位 数等.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.3】求1,3,5,7,9五个数字组成的n 位数的个数(每个数字可重复出现),要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9出现的次数不加限制.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.4】把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.解解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中盒子1、3、7中的球一样多.考虑把此3个盒子视为一个大 盒子,大盒子中分为3个小盒子.问题即转化为将n 个不同的球放入 A、B、C这3个不同的盒子,其中盒子 A里球的个数应为3k(k0),且 A 中的球第二次被分到3个不同的小盒子 中,每个盒子恰好放入k个球,有种分法.所以,本问题的指母函数为第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例2.3.5】在例2.1.5中,若把所取出的r 只鞋再排成一列,问共有多少种结果.解解 此问题即是从集合S=e11,e12,e21,e22,en1,en2的n 类共2n 个元素中不 重复地取出r 个元素排成一列,且同一类元素ei1,ei2不能同时出现(1in).因此,其r 个元素无重排列的指母函数应为即不同的排列共有第二章 母函数及其应用从分配角度看问题,就是将r 个不同的球放入n 个不同的盒子,每个盒子最多放一个 球,而且每个盒子中有两个相异的格子,故还需要进行二次分配.如果某个盒子中放进一 个球,那么,二次分配时有两种可选的方案.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.4 正整数的分拆正整数的分拆定义定义 2.4.1 将一个正整数n 分解成k 个正整数之和称该分解是n 的一个k 分拆,并称ni 为分量.第二章 母函数及其应用此外,按照对诸ni 是否要考虑顺序,将分拆分为两类.例如5的两个4分拆:若考虑ni 间的顺序,这两个分拆被认为是不同的,这样的分拆称为有序分拆.否则,不考 虑顺序,这时可把右端按大小重新排列且看作是同一分拆,称为无序分拆.第二章 母函数及其应用2.4.1 有序分拆有序分拆 求n 的k 有序分拆的个数,相当于求一次不定方程(2.4.1)全体正整数解的组数,可对 每个分量ni 加以条件限制,例如1niri(i=1,2,k),于是可得如下结果.定理定理 2.4.1 对于n 的k 有序分拆其k 有序分拆数数列qk(n)的母函数是第二章 母函数及其应用推论推论 若对n 的k 有序分拆的各分量ni 没有限制,则其k 有序分拆数数列qk(n)的 母函数是且qk(n)=C(n-1,k-1).第二章 母函数及其应用2.4.2 无序分拆无序分拆 由前面的定义可以看出,在n 的分拆中,如果不考虑各分量的顺序,为讨论方便起见,可把分拆后的各项数值从大到小加以排列,即有满足以上条件的每一组正整数解(n1,n2,nk)就代表了一个n 的k 无序分拆,简称分 拆,其分拆数记作pk(n),n1 称为最大分项.第二章 母函数及其应用把n 分拆为最大分项等于k,其分拆数相当于求不定方程的整数解的组数.即整数n 由1,2,k 允许重复且k 至少出现一次的所有(由条件式(2.4.4)限制的)组合数,其母函数为其中展开式中xn 的系数即为n 的最大分项等于k 的分拆个数.第二章 母函数及其应用若最大分项小于或等于k,其分拆数相当于解不定方程其分拆数列的母函数为其中展开式中xn 的系数即为n 的最大分项不超过k 的分拆个数.第二章 母函数及其应用2.4.3 弗雷斯弗雷斯(F
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第二章 母函数及其应用第二章第二章 母函数及其应用母函数及其应用2.1 母函数母函数2.2 母函数的性质母函数的性质 2.3 指数型母函数指数型母函数 2.4 正整数的分拆正整数的分拆 第二章 母函数及其应用在第一章中,已经解决了部分排列组合方案的计数问题.但对于不尽相异元素的部分 排列和组合,用第一章的方法是比较麻烦的(参见表2.0.1).若改用母函数方法,问题将显 得容易多了.其次,在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时,母函数方法是 一种非常重要的手段.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.1 母母 函函 数数定义定义 2.1.1 对于数列an,称无穷级数为该数列的普通型母函 数,简称普母函数或母函数,同时称an为G(x)的生成数列.第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.1】有限数列C(n,r),r=0,1,2,n 的普母函数是(1+x)n.【例【例 2.1.2】无限数列1,1,1,的普母函数是第二章 母函数及其应用说明说明(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;(2)数列an与母函数一一对应,即给定数列便得知它的母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有关运算性质完成计数问题,故不考虑“收敛问题”,即始终认为它是收敛的,而且是可“逐项微分”和“逐项积分”的.表2.1.1是一些常用的母函数,它们的证明只要利用解析函数展开成幂级数的方法即 可得到.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用定理定理 2.1.1 组合的母函数:设S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,则S 的r 可重组合的母函数为其中,r 可重组合数为xr 之系数ar,r=0,1,2,n.第二章 母函数及其应用定理2.1.1的最大优点在于:(1)将无重组合与重复组合统一起来处理;(2)使处理可重组合的枚举问题变得非常简单.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用推论推论6 设S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,要求元素ei 至少出现ki 次,则S 的r 可重组合的母函数为第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.3】设有2个红球,1个黑球,1个白球,问:(1)共有多少种不同的选取方法.试加以枚举.(2)若每次从中任取3个,有多少种不同的取法.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.4】有18张戏票分给甲、乙、丙、丁4个班(不考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多少种不同的分配方案?第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.5】从n 双互相不同的鞋中取出r 只(rn),要求其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用这实际上是一种二次分配二次分配问题.即将r 个相同的球放入n 个不同的盒子,第i个盒子 最多放ti 个球,而该盒子又分为ni 个相异的格子,每个格子最多只能放一个球,故还需要 进行二次分配.如果第i个盒子中放进了ri 个球,那么,对该盒子而言,二次分配时的方 案数为 .例如,设甲、乙、丙3个班分别有30、28、22名学生,现把5本相同的书分给甲、乙、丙3个班,再发到个人手上,每人最多发一本.考虑将分给某班的某本书发给该班的同学 A 与将其发给同学B 被认为是不同的分法,而且甲、乙两班最少1本,甲班最多5本,乙 班最多6本,丙班最少2本,最多9本,问共有多少种不同的分配方案.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.6】甲、乙、丙3人把n(n3)本相同的书搬到办公室,要求甲和乙搬的本数一样多,问共有多少种分配的方法.解解 本问题即组合问题:从集合S=e1,e2,e3中可重复地选取n 个元 素,但要求e1 与e2 的个数一样多,求不同的选取方案数.设想当n=1时,其分法只有1种,即甲和乙都分0本,丙分1本.当n=2时,其分法有2种:甲和乙都分0本(丙分2本)或甲和乙都分1本(丙分0 本).当n=3时,也是2种分法.当n=4或5时,分法为3种:即甲和乙都分0本、1本或2本第二章 母函数及其应用一般情形,甲分k 本,乙也必须分k 本,丙就只能分n-2k 本.考虑将分配过程分为3 步实现.第一步先选出2k 本书,第二步将选出的书分给甲、乙各一半,第三步将剩下的书 全分给丙.由于第二步属于二次分配,且只有一种分法,故可以将甲和乙视为一人,从而把 问题转换为:将n 本相同的书分给两个人,其中一人分得偶数本,求分配方法数.显然,本 问题的母函数为第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例 2.1.7】证明组合等式证证 本例是母函数的另一种应用.意图说明普母函数除了能用于解决组合的求值问题 之外,还能用来证明很多组合等式.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用(3)因为第二章 母函数及其应用2.2 母函数的性质母函数的性质由于母函数与它的生成数列之间是一一对应的,因此,若两个母函数之间存在某种关 系,则对应的生成数列之间也必然存在相应的关系.反之亦然.利用这类对应关系,常常能 帮助我们构造出某些指定数列的母函数的有限封闭形式.特别地,还能得到一些求和的新 方法.设数列ak、bk、ck的母函数分别为A(x)、B(x)、C(x),且都可逐项微分和积 分第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.3 指数型母函数指数型母函数第二章 母函数及其应用但是,注意到n 集的r 无重排列数和r 无重组合数之间有如下关系:从而有第二章 母函数及其应用定义定义 2.3.1 对于数列ak=a0,a1,a2,把形式幂级数称为数列ak的指数型母函数指数型母函数,简称为指母函数指母函数,而数列ak则称为指母函数Ge(x)的生成序列生成序列.第二章 母函数及其应用说明说明(1)ak的非零值可以为有限个或无限个.(2)数列ak与母函数一一对应,即给定数列便得知它的指母函数;反之,求得指母 函数则数列也随之而定.(3)这里将指母函数只看做一个形式函数,目的是利用其有关运算性质完成计数问 题,故不考虑“收敛问题”,即始终认为它是收敛的,而且是可“逐项微分”和“逐项积分”的.第二章 母函数及其应用(4)相应于同一数列ak,一般G(x)Ge(x).第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用定理定理 2.3.1 设重集S=n1e1,n2e2,nm em,且n1+n2+nm=n,则 S 的r 可重排列的指母函数为其中,r 可重排列数为xr/r!之系数ar,r=0,1,2,n.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.1】盒中有3个红球,2个黄球,3个蓝球,从中取4个球,排成一列,问共有多少种不同排列方案.所以,从中取4个球的排列方案有70种.第二章 母函数及其应用类似于组合问题,令即对全部排列方案进行分类枚举.可以看出,取1个球的3种排列方案为红、黄、蓝各分别 取1个.取2个球的9种排列方案为:红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄.其它情形依此类推.第二章 母函数及其应用这里需要说明的是:(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,则无法表示出来 了.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用推论推论 1 若S=e1,e2,en,则r 无重排列的指母函数为第二章 母函数及其应用推论推论 2 若S=e1,e2,en,则r 无限可重排列的指母函数为排列数为nr第二章 母函数及其应用推论推论 3 S=n1e1,n2e2,nm em,元素ei 至少取ki 个(ki0),则有推论推论 4 S=n1e1,n2e2,nm em,令r=n,即得全排列数第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.2】五个数字1,1,2,2,3能组成多少个四位数?由a4=30知能组成30个四位数.同时还知道能组成3个一位数,8个两位数,18个三位 数等.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.3】求1,3,5,7,9五个数字组成的n 位数的个数(每个数字可重复出现),要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9出现的次数不加限制.第二章 母函数及其应用【例【例 2.3.4】把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.解解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中盒子1、3、7中的球一样多.考虑把此3个盒子视为一个大 盒子,大盒子中分为3个小盒子.问题即转化为将n 个不同的球放入 A、B、C这3个不同的盒子,其中盒子 A里球的个数应为3k(k0),且 A 中的球第二次被分到3个不同的小盒子 中,每个盒子恰好放入k个球,有种分法.所以,本问题的指母函数为第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用【例【例2.3.5】在例2.1.5中,若把所取出的r 只鞋再排成一列,问共有多少种结果.解解 此问题即是从集合S=e11,e12,e21,e22,en1,en2的n 类共2n 个元素中不 重复地取出r 个元素排成一列,且同一类元素ei1,ei2不能同时出现(1in).因此,其r 个元素无重排列的指母函数应为即不同的排列共有第二章 母函数及其应用从分配角度看问题,就是将r 个不同的球放入n 个不同的盒子,每个盒子最多放一个 球,而且每个盒子中有两个相异的格子,故还需要进行二次分配.如果某个盒子中放进一 个球,那么,二次分配时有两种可选的方案.第二章 母函数及其应用第二章 母函数及其应用2.4 正整数的分拆正整数的分拆定义定义 2.4.1 将一个正整数n 分解成k 个正整数之和称该分解是n 的一个k 分拆,并称ni 为分量.第二章 母函数及其应用此外,按照对诸ni 是否要考虑顺序,将分拆分为两类.例如5的两个4分拆:若考虑ni 间的顺序,这两个分拆被认为是不同的,这样的分拆称为有序分拆.否则,不考 虑顺序,这时可把右端按大小重新排列且看作是同一分拆,称为无序分拆.第二章 母函数及其应用2.4.1 有序分拆有序分拆 求n 的k 有序分拆的个数,相当于求一次不定方程(2.4.1)全体正整数解的组数,可对 每个分量ni 加以条件限制,例如1niri(i=1,2,k),于是可得如下结果.定理定理 2.4.1 对于n 的k 有序分拆其k 有序分拆数数列qk(n)的母函数是第二章 母函数及其应用推论推论 若对n 的k 有序分拆的各分量ni 没有限制,则其k 有序分拆数数列qk(n)的 母函数是且qk(n)=C(n-1,k-1).第二章 母函数及其应用2.4.2 无序分拆无序分拆 由前面的定义可以看出,在n 的分拆中,如果不考虑各分量的顺序,为讨论方便起见,可把分拆后的各项数值从大到小加以排列,即有满足以上条件的每一组正整数解(n1,n2,nk)就代表了一个n 的k 无序分拆,简称分 拆,其分拆数记作pk(n),n1 称为最大分项.第二章 母函数及其应用把n 分拆为最大分项等于k,其分拆数相当于求不定方程的整数解的组数.即整数n 由1,2,k 允许重复且k 至少出现一次的所有(由条件式(2.4.4)限制的)组合数,其母函数为其中展开式中xn 的系数即为n 的最大分项等于k 的分拆个数.第二章 母函数及其应用若最大分项小于或等于k,其分拆数相当于解不定方程其分拆数列的母函数为其中展开式中xn 的系数即为n 的最大分项不超过k 的分拆个数.第二章 母函数及其应用2.4.3 弗雷斯弗雷斯(F
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